Ώρα εφαπτομένης 87

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12736
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα εφαπτομένης 87

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Ιαν 27, 2021 12:16 pm

Ώρα  εφαπτομένης  87.png
Ώρα εφαπτομένης 87.png (15.45 KiB) Προβλήθηκε 162 φορές
Το A είναι σταθερό σημείο του ημιάξονα Oy , (OA =a) , ενώ το B κινείται στον Ox . Σχεδιάζω

το τετράγωνο ABCD . Ονομάζω C' την προβολή του C στον Ox και S την τομή των OC , AC' .

Υπολογίστε την μέγιστη τιμή της : \tan\widehat{CSC'} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10729
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 87

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιαν 27, 2021 1:25 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Ιαν 27, 2021 12:16 pm
Ώρα εφαπτομένης 87.pngΤο A είναι σταθερό σημείο του ημιάξονα Oy , (OA =a) , ενώ το B κινείται στον Ox . Σχεδιάζω

το τετράγωνο ABCD . Ονομάζω C' την προβολή του C στον Ox και S την τομή των OC , AC' .

Υπολογίστε την μέγιστη τιμή της : \tan\widehat{CSC'} .
Έστω OB=b Εύκολα προκύπτει η ισότητα των τριγώνων OAB, C'BC άρα BC'=a, CC'=b.
Ώρα εφαπτομένης.87.png
Ώρα εφαπτομένης.87.png (14.74 KiB) Προβλήθηκε 147 φορές
\displaystyle \tan \theta  = \tan (\omega  + \varphi ) = \frac{{\frac{b}{{a + b}} + \frac{a}{{a + b}}}}{{1 - \frac{{ab}}{{{{(a + b)}^2}}}}} = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}}

Θέτω \displaystyle \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} = y \ne 1, y\ne 0 \Leftrightarrow (y - 1){a^2} + (y - 2)ba + (y - 1){b^2} = 0

Για να έχει η παραπάνω εξίσωση ως προς a πραγματική λύση πρέπει \displaystyle \Delta  \ge 0 \Leftrightarrow by(4 - 3y) \ge 0 \Leftrightarrow y \le \frac{4}{3}

Άρα, \boxed{ {(\tan \theta )_{\max }} = \frac{4}{3}} όταν \boxed{b=a}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8089
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 87

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιαν 27, 2021 1:55 pm

Ώρα εφαπτομένης 87.png
Ώρα εφαπτομένης 87.png (18.44 KiB) Προβλήθηκε 140 φορές
Τα τρίγωνα OAB\,,\,\,BC'C είναι πάντα ίσα .

\theta  = \omega  + \phi \,\,\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\boxed{\tan \theta  = \frac{{\tan \omega  + \tan \phi }}{{1 - \tan \omega  \cdot \tan \phi }}}\,\,\left( 2 \right) .

Αλλά ο αριθμητής του προηγουμένου κλάσματος είναι σταθερός και ίσος με 1.

άρα το κλάσμα γίνεται μέγιστο αν ο παρανομαστής γίνει ελάχιστος ή ισοδύναμα το

γινόμενο \tan \omega  \cdot \tan \phi γίνει μέγιστο , άρα αναγκαστικά οι όροι του γίνουν ίσοι .

Μα τότε το OA = OB και \boxed{\tan \theta  = \frac{4}{3}}.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10729
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 87

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιαν 27, 2021 2:29 pm

Doloros έγραψε:
Τετ Ιαν 27, 2021 1:55 pm
Ώρα εφαπτομένης 87.png

Τα τρίγωνα OAB\,,\,\,BC'C είναι πάντα ίσα .

\theta  = \omega  + \phi \,\,\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\boxed{\tan \theta  = \frac{{\tan \omega  + \tan \phi }}{{1 - \tan \omega  \cdot \tan \phi }}}\,\,\left( 2 \right) .

Αλλά ο αριθμητής του προηγουμένου κλάσματος είναι σταθερός και ίσος με 1.

άρα το κλάσμα γίνεται μέγιστο αν ο παρανομαστής γίνει ελάχιστος ή ισοδύναμα το

γινόμενο \tan \omega  \cdot \tan \phi γίνει μέγιστο , άρα αναγκαστικά οι όροι του γίνουν ίσοι
.

Μα τότε το OA = OB και \boxed{\tan \theta  = \frac{4}{3}}.
Έξυπνο :clap2:


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: ILIOPOULOS PANAGIOTIS και 2 επισκέπτες