Η ακτίνα του εγκύκλου

KARKAR · #1

Α) Βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης : $g(x)=\dfrac{1}{x^2+1+\sqrt{x^2+1}}$

: Η ακτίνα του εγκύκλου.png (8.01 KiB) Προβλήθηκε 445 φορές

Β) Το ισοσκελές τρίγωνο ABC

, έχει σταθερή βάση : BC=2

και μεταβλητό ύψος : AD=x

.

Βα) Να εκφράσετε την ακτίνα

του εγκύκλου (O)

του τριγώνου , συναρτήσει του ύψους

.

Ββ) Δείξτε ότι η συνάρτηση του Βα) είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή . Δώστε και σχήμα της $C_{r}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 26, 2021 7:54 pm
Α) Βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης : $g(x)=\dfrac{1}{x^2+1+\sqrt{x^2+1}}$

Η ακτίνα του εγκύκλου.pngΒ) Το ισοσκελές τρίγωνο , έχει σταθερή βάση : και μεταβλητό ύψος : .

Βα) Να εκφράσετε την ακτίνα του εγκύκλου του τριγώνου , συναρτήσει του ύψους .

Ββ) Δείξτε ότι η συνάρτηση του Βα) είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή . Δώστε και σχήμα της $C_{r}$ .

Για το A) δεν χρειάζεται παραγώγιση (το λέω επειδή η άσκηση είναι στον φάκελο του Διαφορικού Λογισμού, βλέπε όμως παρακάτω) αλλά βγαίνει απλά: Θέτουμε t=x^2+1

, οπότε $t\ge 1$ και η παράσταση είναι η $\displaystyle{ \dfrac{1}{t+\sqrt{t}} }$ . Ο παρονομαστής ως γνήσια αύξουσα συνάρτηση (είναι άθροισμα από δύο τέτοιες) έχει ελάχιστη τιμή στο t=1

(δηλαδή την μικρότερη επιτρεπτή τιμή του

). Άρα η δοθείσα έχει μέγιστη τιμή $\displaystyle{ \dfrac{1}{1+\sqrt{1}} = \dfrac {1}{2}}$ .

Β) Φέρνουμε την κάθετο

στην πλευρά

, δηλαδή ουσιαστικά ενώνουμε το

με το σημείο επαφής. Τότε τα ορθογώνια τρίγωνα $AOE,\, ADC$ είναι όμοια και άρα $\displaystyle{\dfrac {AO}{OE}= \dfrac {AC}{DC}}$ ή αλλιώς $\displaystyle{\dfrac {x-r}{r}= \dfrac {\sqrt {x^2+1}}{1}}$ . Έπεται

$\displaystyle{ r = \dfrac {\sqrt {x^2+1} -1 }{x}}$

Έχει παράγωγο (εδώ φαίνεται γιατί η άσκηση είναι τελικά στον σωστό φάκελο) την παραπάνω

, οπότε το Ββ) άμεσο. Το σχήμα της είναι σαν το άνω μισό ενός

, με όριο

(άμεσο) καθώς $x\to \infty$

#3

Kαλησπέρα σε όλους.
Μια διαφορετική αντιμετώπιση για το Α.

Η

ορίζεται στο

.

Είναι $\displaystyle x \ge 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 1 \ge 1\\ \sqrt {{x^2} + 1} \ge 1 \end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) \le \frac{1}{2}$ με το ίσον για x = 0

.

Αφού είναι άρτια (απλή απόδειξη), έχει μέγιστο το $g(0) = \frac{1}{2}$ .

Προσεχώς η συνέχεια, για τα υπόλοιπα ενδιαφέροντα ερωτήματα λόγω έλλειψης χρόνου και κακής σύνδεσης.

edit: Συνεχίζω σε ώρα κενού από το σχολείο.

Eίναι: BC = 2, AD = x, x>0

και $AB = AC = \sqrt{x^2+1}$ .

Είναι $\displaystyle \tau \cdot r =\frac{BC\cdot AD}{2}\Leftrightarrow \frac{2\sqrt{x^2+1}+2}{2}\cdot r=\frac{2x}{2}\Leftrightarrow r=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}+1} \Leftrightarrow r = \frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x}$

Η ακτίνα του εγκύκλου

Η ακτίνα του εγκύκλου

Re: Η ακτίνα του εγκύκλου

Re: Η ακτίνα του εγκύκλου

Μέλη σε σύνδεση