Η ακτίνα του εγκύκλου

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Η ακτίνα του εγκύκλου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιαν 26, 2021 7:54 pm

Α) Βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης : g(x)=\dfrac{1}{x^2+1+\sqrt{x^2+1}}
Η  ακτίνα  του εγκύκλου.png
Η ακτίνα του εγκύκλου.png (8.01 KiB) Προβλήθηκε 177 φορές
Β) Το ισοσκελές τρίγωνο ABC , έχει σταθερή βάση : BC=2 και μεταβλητό ύψος : AD=x .

Βα) Να εκφράσετε την ακτίνα r του εγκύκλου (O) του τριγώνου , συναρτήσει του ύψους x .

Ββ) Δείξτε ότι η συνάρτηση του Βα) είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή . Δώστε και σχήμα της C_{r}.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13493
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Η ακτίνα του εγκύκλου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Ιαν 26, 2021 8:52 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιαν 26, 2021 7:54 pm
Α) Βρείτε την μέγιστη τιμή της συνάρτησης : g(x)=\dfrac{1}{x^2+1+\sqrt{x^2+1}}

Η ακτίνα του εγκύκλου.pngΒ) Το ισοσκελές τρίγωνο ABC , έχει σταθερή βάση : BC=2 και μεταβλητό ύψος : AD=x .

Βα) Να εκφράσετε την ακτίνα r του εγκύκλου (O) του τριγώνου , συναρτήσει του ύψους x .

Ββ) Δείξτε ότι η συνάρτηση του Βα) είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή . Δώστε και σχήμα της C_{r}.

Για το A) δεν χρειάζεται παραγώγιση (το λέω επειδή η άσκηση είναι στον φάκελο του Διαφορικού Λογισμού, βλέπε όμως παρακάτω) αλλά βγαίνει απλά: Θέτουμε t=x^2+1, οπότε t\ge 1 και η παράσταση είναι η \displaystyle{ \dfrac{1}{t+\sqrt{t}} }. Ο παρονομαστής ως γνήσια αύξουσα συνάρτηση (είναι άθροισμα από δύο τέτοιες) έχει ελάχιστη τιμή στο t=1 (δηλαδή την μικρότερη επιτρεπτή τιμή του t). Άρα η δοθείσα έχει μέγιστη τιμή \displaystyle{ \dfrac{1}{1+\sqrt{1}} = \dfrac {1}{2}}.

Β) Φέρνουμε την κάθετο OE στην πλευρά AC, δηλαδή ουσιαστικά ενώνουμε το O με το σημείο επαφής. Τότε τα ορθογώνια τρίγωνα AOE,\, ADC είναι όμοια και άρα \displaystyle{\dfrac {AO}{OE}= \dfrac {AC}{DC}} ή αλλιώς \displaystyle{\dfrac {x-r}{r}= \dfrac {\sqrt {x^2+1}}{1}}. Έπεται

\displaystyle{ r = \dfrac {\sqrt {x^2+1} -1 }{x}}

Έχει παράγωγο (εδώ φαίνεται γιατί η άσκηση είναι τελικά στον σωστό φάκελο) την παραπάνω g, οπότε το Ββ) άμεσο. Το σχήμα της είναι σαν το άνω μισό ενός C, με όριο 1 (άμεσο) καθώς x\to \infty


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4900
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Η ακτίνα του εγκύκλου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Ιαν 26, 2021 10:33 pm

Kαλησπέρα σε όλους.
Μια διαφορετική αντιμετώπιση για το Α.

Η g ορίζεται στο R.

Είναι  \displaystyle x \ge 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
{x^2} + 1 \ge 1\\ 
\sqrt {{x^2} + 1}  \ge 1 
\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) \le \frac{1}{2} με το ίσον για x = 0.

Αφού είναι άρτια (απλή απόδειξη), έχει μέγιστο το g(0) = \frac{1}{2}.

Προσεχώς η συνέχεια, για τα υπόλοιπα ενδιαφέροντα ερωτήματα λόγω έλλειψης χρόνου και κακής σύνδεσης.

edit: Συνεχίζω σε ώρα κενού από το σχολείο.

Eίναι: BC = 2, AD = x, x>0 και AB = AC = \sqrt{x^2+1}.

Είναι  \displaystyle \tau \cdot r =\frac{BC\cdot AD}{2}\Leftrightarrow \frac{2\sqrt{x^2+1}+2}{2}\cdot r=\frac{2x}{2}\Leftrightarrow r=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}+1} \Leftrightarrow r = \frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης