Κοινές εφαπτόμενες παραβολών

KARKAR · #1

: Κοινές εφαπτόμενες παραβολών.png (101.76 KiB) Προβλήθηκε 497 φορές

$\bigstar$ Α) Δείξτε ότι οι γραφικές παραστάσεις δύο τριωνύμων δεν μπορούν να έχουν περισσότερες

από δύο κοινές εφαπτόμενες .

Β) Δείξτε ότι τα σημεία επαφής των κοινών εφαπτομένων των συναρτήσεων : f(x)=3x^2+2x+2

και :

, είναι κορυφές τραπεζίου , του οποίου υπολογίστε το εμβαδόν .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 15, 2021 1:34 pm
Κοινές εφαπτόμενες παραβολών.png $\bigstar$ Α) Δείξτε ότι οι γραφικές παραστάσεις δύο τριωνύμων δεν μπορούν να έχουν περισσότερες

από δύο κοινές εφαπτόμενες .

Β) Δείξτε ότι τα σημεία επαφής των κοινών εφαπτομένων των συναρτήσεων :

και : , είναι κορυφές τραπεζίου , του οποίου υπολογίστε το εμβαδόν .

Για να κλείνει:

Αρχίζω από το β). Αν (a,3a^2+2a+2)

και

τα σημεία επαφής στις δύο παραβολές, αντίστοιχα, τότε οι εξισώσεις των εφαπτομένων είναι

$\displaystyle{y=(6a+2)(x-a) +(3a^2+2a+2)}$ και $\displaystyle{y=(-4b-2)(x-b)+ (-2b^2-2b)}$ .

Αν πρόκειται για τις ίδιες ευθείες τότε, ισοδύναμα, έχουν τον ίδιο συντελεστή του

και τον ίδιο σταθερό όρο, εδώ

6a+2=-4b-2

και

. Λύνοντας θα βρούμε (a=0, b=-1)

και

, δηλαδή δύο κοινές εφαπτόμενες.

Τα σημεία επαφής είναι ι) για την επάνω παραβολή τα (a,3a^2+2a+2)= (0,2)

και

και ιι) για την κάτω
(b,-2b^2-b)= (-1,0)

και

. Τα υπόλοιπα είναι άμεσα, θέμα επίπονων πράξεων ρουτίνας που δεν αξίζει να γίνουν μέχρι τέλους.

α) Γενικά, κάνουμε ακριβώς την ίδια δουλειά με τις y=Ax^2+Bx+C

και

. Για να βρούμε τα αντίστοιχα a,b

θα χρειαστεί να λύσουμε ένα σύστημα που οδηγεί σε δευτεροβάθμια ως προς

(όμοια ως προς

), οπότε έχουμε το πολύ δύο κοινές εφαπτόμενες.

Κοινές εφαπτόμενες παραβολών

Κοινές εφαπτόμενες παραβολών

Re: Κοινές εφαπτόμενες παραβολών

Μέλη σε σύνδεση