Κοινές εφαπτόμενες παραβολών

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κοινές εφαπτόμενες παραβολών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 15, 2021 1:34 pm

Κοινές  εφαπτόμενες παραβολών.png
Κοινές εφαπτόμενες παραβολών.png (101.76 KiB) Προβλήθηκε 257 φορές
\bigstar Α) Δείξτε ότι οι γραφικές παραστάσεις δύο τριωνύμων δεν μπορούν να έχουν περισσότερες

από δύο κοινές εφαπτόμενες .

Β) Δείξτε ότι τα σημεία επαφής των κοινών εφαπτομένων των συναρτήσεων : f(x)=3x^2+2x+2

και : g(x)=-2x^2-2x , είναι κορυφές τραπεζίου , του οποίου υπολογίστε το εμβαδόν .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13493
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Κοινές εφαπτόμενες παραβολών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιαν 28, 2021 9:35 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 15, 2021 1:34 pm
Κοινές εφαπτόμενες παραβολών.png\bigstar Α) Δείξτε ότι οι γραφικές παραστάσεις δύο τριωνύμων δεν μπορούν να έχουν περισσότερες

από δύο κοινές εφαπτόμενες .

Β) Δείξτε ότι τα σημεία επαφής των κοινών εφαπτομένων των συναρτήσεων : f(x)=3x^2+2x+2

και : g(x)=-2x^2-2x , είναι κορυφές τραπεζίου , του οποίου υπολογίστε το εμβαδόν .
Για να κλείνει:

Αρχίζω από το β). Αν (a,3a^2+2a+2) και (b,-2b^2-b) τα σημεία επαφής στις δύο παραβολές, αντίστοιχα, τότε οι εξισώσεις των εφαπτομένων είναι

\displaystyle{y=(6a+2)(x-a) +(3a^2+2a+2)} και \displaystyle{y=(-4b-2)(x-b)+ (-2b^2-2b)}.

Αν πρόκειται για τις ίδιες ευθείες τότε, ισοδύναμα, έχουν τον ίδιο συντελεστή του x και τον ίδιο σταθερό όρο, εδώ

6a+2=-4b-2 και  -a(6a+2) +(3a^2+2a+2)=-b(-4b-2)+ (-2b^2-2b). Λύνοντας θα βρούμε (a=0, b=-1) και (a=-4/5, b=1/5), δηλαδή δύο κοινές εφαπτόμενες.

Τα σημεία επαφής είναι ι) για την επάνω παραβολή τα (a,3a^2+2a+2)= (0,2) και (a,3a^2+2a+2)= (-4/5, 58/25) και ιι) για την κάτω
(b,-2b^2-b)= (-1,0) και (b,-2b^2-b)= (1/5,12/25). Τα υπόλοιπα είναι άμεσα, θέμα επίπονων πράξεων ρουτίνας που δεν αξίζει να γίνουν μέχρι τέλους.

α) Γενικά, κάνουμε ακριβώς την ίδια δουλειά με τις y=Ax^2+Bx+C και y=Px^2+Qx+R. Για να βρούμε τα αντίστοιχα a,b θα χρειαστεί να λύσουμε ένα σύστημα που οδηγεί σε δευτεροβάθμια ως προς a (όμοια ως προς b), οπότε έχουμε το πολύ δύο κοινές εφαπτόμενες.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Πέμ Ιαν 28, 2021 9:39 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης