Όριο

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4578
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Δεκ 05, 2020 8:14 pm

Έστω f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσιμη στο x_0=\alpha>0. Να δειχθεί ( με τον ορισμό ) ότι:

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \alpha} \frac{f(x) \ln x - f(\alpha) \ln \alpha}{x-\alpha} =  \frac{f(\alpha)}{\alpha} + f'(\alpha) \ln \alpha}
Καμία ιδέα γιατί κόλλησα;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2001
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Σάβ Δεκ 05, 2020 8:48 pm

προσθαφαιρούμε f\left ( x \right )\cdot ln\alpha ή f\left ( \alpha \right )\cdot lnx
και βγάζουμε κοινό παράγοντα


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13319
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 05, 2020 8:48 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Δεκ 05, 2020 8:14 pm
Έστω f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} παραγωγίσιμη στο x_0=\alpha>0. Να δειχθεί ( με τον ορισμό ) ότι:

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \alpha} \frac{f(x) \ln x - f(\alpha) \ln \alpha}{x-\alpha} =  \frac{f(\alpha)}{\alpha} + f'(\alpha) \ln \alpha}
Καμία ιδέα γιατί κόλλησα;
Υπόδειξη

\displaystyle{ \frac {f(x) \ln x - f(\alpha) \ln \alpha}{x-\alpha} = \frac{f(x) - f(\alpha) }{x-\alpha} \cdot \ln x + f(a) \cdot \frac{\ln x - \ln \alpha}{x-\alpha }


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4578
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Όριο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Δεκ 05, 2020 10:46 pm

Η άσκηση βρίσκεται σε φυλλάδιο με ασκήσεις πριν τους κανόνες παραγώγισης. Αυτό λοιπόν που έχουμε στα χέρια μας είναι τον ορισμό της παραγώγου, δηλ. το όριο

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}}
Οπότε θα πρέπει με κάποιο τρόπο να υπολογιστεί το όριο \displaystyle{\lim_{x \rightarrow \alpha} \frac{\ln x - \ln \alpha}{x-\alpha}} χωρίς κανόνες παραγώγισης. Κάποια ανισότητα με κριτήριο παρεμβολής; Προφανώς δε μπορεί να χρησιμοποιηθεί ούτε το όριο \displaystyle{e = \lim_{h \rightarrow 0} \left ( 1 + h \right )^{1/h}} καθώς είναι εκτός ύλης.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13319
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Δεκ 05, 2020 11:07 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Δεκ 05, 2020 10:46 pm
Η άσκηση βρίσκεται σε φυλλάδιο με ασκήσεις πριν τους κανόνες παραγώγισης. Αυτό λοιπόν που έχουμε στα χέρια μας είναι τον ορισμό της παραγώγου, δηλ. το όριο

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}}
Οπότε θα πρέπει με κάποιο τρόπο να υπολογιστεί το όριο \displaystyle{\lim_{x \rightarrow \alpha} \frac{\ln x - \ln \alpha}{x-\alpha}} χωρίς κανόνες παραγώγισης. Κάποια ανισότητα με κριτήριο παρεμβολής; Προφανώς δε μπορεί να χρησιμοποιηθεί ούτε το όριο \displaystyle{e = \lim_{h \rightarrow 0} \left ( 1 + h \right )^{1/h}} καθώς είναι εκτός ύλης.
Αν η άσκηση βρίσκεται πριν από την παράγωγο της \ln x, τότε είναι ολίσθημα του συγγραφέα ή σου ζητά να βρεις εσύ την εν λόγω παράγωγο. Άλλωστε είναι σαφές από την εκφώνηση της άσκησης ότι, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, ένα από τα ζητούμενα είναι η απόδειξη του

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \alpha} \frac{\ln x - \ln \alpha}{x-\alpha}}= \dfrac {1}{\alpha}

Πάρε π.χ. για f την σταθερή f(x)=1 στο αποδεικτέο, και θα το διαπιστώσεις ότι, ουσιαστικά, σου το ζητάει. Με άλλα λόγια, ΟΤΙ ΜΑ ΟΤΙ ΚΑΝΕΙΣ, η απόδειξη εμπεριέχει την παράγωγο του λογαρίθμου. Η ίδια η παράγωγος δεν έρχεται με επιφοίτηση, αλλά πρέπει να κάνεις έναν από τους διάφορους τρόπους εύρεσής της. Όλα τα άλλα είναι... σάλτσα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες