Μέγιστη περίμετρος

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4662
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Μέγιστη περίμετρος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Οκτ 22, 2020 7:55 pm

Δίδεται τετράγωνο \mathrm{AB} \Gamma \Delta με συνολική περίμετρο 24m. Μέσα στο τετράγωνο εγγράφουμε ένα τρίγωνο \mathrm{ABE} έτσι ώστε το \mathrm{E} να είναι σημείο της \Gamma \Delta. Αν x είναι η απόσταση του \mathrm{E} από το \Gamma


(α) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου \mathrm{ABE}.

(β) Να βρεθεί η περίμετρος του τριγώνου συναρτήσει του x.

(γ) Πότε η περίμετρος του τριγώνου είναι μέγιστη ;


\displaystyle{\begin{tikzpicture} 
      \draw (0, 0) -- (6, 0) -- (6, 6) -- (0, 6) -- cycle; 
      \draw[dashed] (0, 6) -- (2, 0) -- (6, 6); 
      \draw (0, 6) node[left]{A}; 
      \draw (6, 6) node[right]{B}; 
      \draw (6, 0) node[right]{\text{\gr Γ}}; 
      \draw (0, 0) node[left]{\text{\gr Δ}}; 
      \draw (2, 0) node[below]{E}; 
      \draw (1, 0) node[below]{χ}; 
      \draw (0, 3) node[left]{6}; 
      \draw[dashed] (2, 0) -- (2, 6); 
      \draw (2, 6) node[above]{Z}; 
    \end{tikzpicture}}

Τη βρήκα έτσι. Έχει κάποιο πρόβλημα;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4900
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστη περίμετρος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Οκτ 22, 2020 9:00 pm

Kαλησπέρα Αποστόλη. Δεν βλέπω κάτι παράξενο. Θα το ψάξω και με "αλγεβρικά εργαλεία", αν και δεν φαίνεται βολικό να χρησιμοποιηθούν τα βασικά θεωρήματα ακροτάτων της Άλγεβρας.



c103547f2c2d17222224567068735485.png
c103547f2c2d17222224567068735485.png (6.82 KiB) Προβλήθηκε 203 φορές

Το τετράγωνο έχει πλευρά 6 m.

 \displaystyle \left( {ABE} \right) = \frac{{EZ \cdot AB}}{2} = \frac{{6 \cdot 6}}{2} = 18\;{m^2}

Είναι  \displaystyle E\Gamma  = \sqrt {26 + {x^2}} ,\;\;E\Delta  = \sqrt {36 + {{\left( {6 - x} \right)}^2}} ,\;\;AB = 6 , με  \displaystyle 0 \le x \le 6

Οπότε η περίμετρος του AEB δίνεται από τη συνάρτηση

 \displaystyle P\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + 36}  + \sqrt {{{\left( {6 - x} \right)}^2} + 36}  + 6,\;\;x \in \left[ {0,\;6} \right]

Η συνάρτηση έχει παράγωγο

 \displaystyle P'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 36} }} + \frac{{x - 6}}{{\sqrt {{{\left( {6 - x} \right)}^2} + 36} }}

 \displaystyle P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 36} }} = \frac{{6 - x}}{{\sqrt {{{\left( {6 - x} \right)}^2} + 36} }}

Οι όροι της ισότητας είναι μη αρνητικοί, άρα τετραγωνίζουμε ισοδύναμα.

 \displaystyle \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 36}} = \frac{{{{\left( {6 - x} \right)}^2}}}{{{{\left( {6 - x} \right)}^2} + 36}}  \displaystyle  \Leftrightarrow {x^2} = {\left( {x - 6} \right)^2} \Leftrightarrow x = 3 .

Για x > 3 είναι θετική, για x<3 είναι αρνητική, άρα (εύκολα βρίσκουμε ότι) η συνάρτηση έχει μέγιστο για x = 0 ή x= 6 με τιμή  \displaystyle {P_{\max }} = 12 + 6\sqrt 2 και ελάχιστο, (αν και δεν το ζητά) για x = 3 με τιμή  \displaystyle {P_{\min }} = 6\sqrt 5  + 6 .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης