gbaloglou έγραψε: ↑Κυρ Μάιος 09, 2021 10:55 am
Με τις αποδείξεις του αρχικού προβλήματος ίσως ασχοληθώ αργότερα (αν έχω κάποια καλή ιδέα), όσον αφορά τα παραπάνω ισοπεριμετρικά: ενδιαφέροντα, αλλά όχι ακριβώς σχετιζόμενα προς το αρχικό πρόβλημα -- δεν ζητάμε δηλαδή το μέγιστο 'χορδικό εμβαδόν' που αντιστοιχεί σε όχι υποχρεωτικά κυκλικό τόξο δοθέντος μήκους, αλλά το μέγιστο 'χορδικό εμβαδόν' που αντιστοιχεί σε μεταβλητής γωνίας κυκλικό τόξο δοθέντος μήκους!
Νομίζω το να περιοριστούμε σε κυκλικά τόξα είναι υποσύνολο των καμπυλών του ισοπεριμετρικού προβλήματος, οπότε το ισοπεριμετρικό πρόβλημα είναι πιο γενικό αλλά όχι απαραίτητα διαφορετικό από αυτό που θέλουμε.
Έχουμε ως δεδομένο το σταθερό μήκος της λαμαρίνας
μέτρου. Έχουμε επίσης δεδομένο οτι θέλουμε να κατασκευάσουμε διατομή σχήματος κυκλικού τμήματος ( τόξου). Από όλα τα δυνατά σχήματα που μπορούμε να φτιάξουμε με την λαμαρίνα ήδη έχουμε περιοριστεί σε κυκλικά.
Αν προσδιορίσουμε πιο κομμάτι του κύκλου μας δίνει το μέγιστο εμβαδόν, τότε από αυτό μπορούμε να υπολογίσουμε και την ακτίνα που θέλουμε (το ζητούμενο, η κατασκευή). Αν για παραδειγμα προσδιορίσουμε ότι το μέγιστο εμβαδόν διατομής μας το δίνουν τα
του κύκλου, τότε η ακτίνα που ψάχνουμε θα είναι
.
Αν θεωρήσουμε ότι κάνουμε ημικυκλική διατομή, τότε για την ακτίνα
θα ισχύει
. Το εμβαδόν της διατομής
σε αυτή την περίπτωση είναι
.
Αν θέλουμε να φτιάξουμε όλο το κυκλικό τμήμα, δηλαδή να φτιάξουμε σωλήνα, τότε η ακτίνα
πρέπει να είναι
. Σε αυτήν την περίπτωση το αντίστοιχο εμβαδόν
είναι
.
Παρατηρούμε ότι έχουμε μικρότερο εμβαδόν διατομής από, ότι αν φτιάχναμε ημικύκλιο. Δηλαδή δεν μας συμφέρει να φτιάξουμε σωλήνα, αλλά ανοιχτό κανάλι.
Τώρα, έστω ότι το ημικύκλιο δεν είναι το καλύτερο δυνατό κανάλι, αλλά κάποιο άλλο τόξο
. Θεωρούμε το συμμετρικό του τόξο ως προς την ευθεία
και εξετάζουμε την καμπύλη
. Δηλαδή μια κλειστή καμπύλη (σωλήνα) μήκους
και εμβαδόν διατομής
.
Επίσης θεωρούμε και την αντίστοιχη κλειστή καμπύλη που προκύπτει από ημικύκλιο μήκους
. Αυτή θα έχει μήκος
και θα είναι ένας κύκλος. Με εμβαδόν
,
.
Όμως από όλες τις καμπύλες με μήκος
το μέγιστο εμβαδόν το έχει ο κύκλος απότε
, άτοπο.
Άρα δεν μπορεί να έχουμε κατι καλύτερο από ημικυκλική διατομή και η ζητούμενη ακτίνα είναι
Τα παραπάνω ήταν περισσότερο για τον τίτλο "προφανούς" και πως μπορούμε να δικαιολογήσουμε τον τίτλο.
- kopiastikh_apodeiksh_profanous.png (18.5 KiB) Προβλήθηκε 950 φορές