Κοπιαστική απόδειξη του προφανούς
Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1733
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Κοπιαστική απόδειξη του προφανούς
Διαθέτει κάποιος ένα φύλλο λαμαρίνας μεγάλου μήκους και πλάτους .
Θέλει να το λυγίσει για να κατασκευάσει ένα κανάλι νερού με διατομή κυκλικό τμήμα
και ίσως ανοικτό από επάνω όπως στο σχήμα .
Ποια είναι η ακτίνα του κύκλου που μεγιστοποιεί το εμβαδόν της διατομής ;
Θέλει να το λυγίσει για να κατασκευάσει ένα κανάλι νερού με διατομή κυκλικό τμήμα
και ίσως ανοικτό από επάνω όπως στο σχήμα .
Ποια είναι η ακτίνα του κύκλου που μεγιστοποιεί το εμβαδόν της διατομής ;
- Συνημμένα
-
- κανάλι.png (92.13 KiB) Προβλήθηκε 1560 φορές
Kαλαθάκης Γιώργης
Λέξεις Κλειδιά:
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3326
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Κοπιαστική απόδειξη του προφανούς
Προτιμώ να εργαστώ με πλάτος φύλλου λαμαρίνας T (αντί ενός μέτρου). Όπως δείχνω και στο συνημμένο, έχουμε δύο περιπτώσεις (που καταλήγουν πάντως στον ίδιο τύπο):
(Ι) [] 'Μικρή' διατομή = κυκλικός τομέας - τρίγωνο =
(II) [] 'Μεγάλη' διατομή = κυκλικός τομέας + τρίγωνο =
Αρκεί λοιπόν να μεγιστοποιηθεί η για .
Για την μελέτη του προσήμου της παραγώγου αρκεί βεβαίως να μελετηθεί ο αριθμητής . Εδώ ... είτε κάποιο γραφιστικό πακέτο -- δεν συνιστώ την χρήση τους, όχι κατά την πρώτη ή δεύτερη προσπάθεια τουλάχιστον, σε όσους μαθαίνουν Λογισμό -- είτε η διακριτική υπόδειξη του θεματοδότη σε πιθανό συνδυασμό με την δική μας παρατηρητικότητα και εγρήγορση ... υποδεικνύουν πιθανό μέγιστο για , και όντως . Περαιτέρω διαίσθηση ή/και κοινή λογική συνιστούν για και για .
Οι παραπάνω ανισότητες δεν είναι προφανείς, οπότε καλό είναι να εξεταστούν οι και : η πρώτη μας δίνει αύξουσα για (μέσω και ) και φθίνουσα για (μέσω , ), η δεύτερη μας δίνει κυρτή για & και κοίλη για .
Μπορούμε τώρα να τελειώσουμε το πρόβλημα ως εξής:
-- Για προκύπτει η μέσω και .
-- Για προκύπτει η μέσω , και .
-- Για προκύπτει η μέσω και .
-- Για προκύπτει η μέσω , και .
Έχουμε λοιπόν αποδείξει ότι για δοθέν πλάτος φύλλου η μέγιστη διατομή καναλιού είναι ημικυκλική, ακτίνας και εμβαδού .
[Κοπιώδης οπωσδήποτε η απόδειξη, δεν ξέρω αν μπορεί να γίνει κάτι καλύτερο, όσοι πιστοί προσέλθετε... (Όπως δεν ξέρω αν είναι τόσο διαισθητικά προφανές το αποτέλεσμα!) Χρησιμοποιήθηκαν η θετικότητα κοίλης συνάρτησης σε διάστημα στου οποίου τα άκρα είναι μη αρνητική και η αρνητικότητα κυρτής συνάρτησης σε διάστημα στου οποίου τα άκρα είναι μη θετική: πρόκειται για ένα χρήσιμο λήμμα που έχει χρησιμοποιηθεί κατά καιρούς στο (εδώ πχ, στην μορφή ότι "συνάρτηση κυρτή [κοίλη] σε διάστημα μεγιστοποιείται [ελαχιστοποιείται] σε ένα από τα δύο άκρα του διαστήματος") και που καλό είναι να γνωρίζουν οι υποψήφιοι!]
τελευταία επεξεργασία από gbaloglou σε Δευ Μάιος 03, 2021 4:17 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5207
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Κοπιαστική απόδειξη του προφανούς
To ίδιο ακριβώς πρόβλημα υπάρχει και σε τραπέζιο.
Για τη κατασκευή ενός καναλιού η κάθετη διατομή πρέπει να έχει το παρακάτω σχήμα όπου είναι ένα ισοσκελές τραπέζιο με .
Αν είναι η γωνία που σχηματίζουν οι πλευρές και με τη βάση του καναλιού τότε:
(α) να δειχθεί ότι το εμβαδόν της διατομής του καναλιού δίδεται από τον τύπο
(β) Να υπολογιστεί η γωνία έτσι ώστε το κανάλι να μεταφέρει την μεγαλύτερη δυνατή ποσότητα νερού.
Για τη κατασκευή ενός καναλιού η κάθετη διατομή πρέπει να έχει το παρακάτω σχήμα όπου είναι ένα ισοσκελές τραπέζιο με .
Αν είναι η γωνία που σχηματίζουν οι πλευρές και με τη βάση του καναλιού τότε:
(α) να δειχθεί ότι το εμβαδόν της διατομής του καναλιού δίδεται από τον τύπο
(β) Να υπολογιστεί η γωνία έτσι ώστε το κανάλι να μεταφέρει την μεγαλύτερη δυνατή ποσότητα νερού.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1779
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Κοπιαστική απόδειξη του προφανούς
Θα μπορούσαμε να το δούμε ως εξής, αν δεν κάνω λάθος: Έστω ότι η καλύτερη δυνατή διατομή δεν είναι ημικυκλική. Τότε αν φανταστούμε ότι τοποθετούμε ένα αλλο κανάλι πάνω στο κανάλι μας συμμετρικό του, τότε δημιουργείτε μια κλειστή καμπύλη (εκτός της περίπτωσης "πλήρους" κύκλου). Αυτή η καμπύλη έχει σταθερό μήκος και έχει το μέγιστο εμβαδόν που μπορούμε να πετύχουμε με αυτή την σταθερή περίμετρο. Ως γνωστών όμως το μεγαλύτερο εμβαδόν με σταθερή περίμετρο το έχει ο κύκλος. Άτοπο.
Βέβαια θεωρούμε γνωστή την λύση του ισοπεριμετρικού προβλήματος.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3326
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Κοπιαστική απόδειξη του προφανούς
Καλημέρα Τόλη και Χρόνια Πολλά, Χριστός Ανέστη!Tolaso J Kos έγραψε: ↑Κυρ Μάιος 02, 2021 11:11 pmTo ίδιο ακριβώς πρόβλημα υπάρχει και σε τραπέζιο.
Για τη κατασκευή ενός καναλιού η κάθετη διατομή πρέπει να έχει το παρακάτω σχήμα όπου είναι ένα ισοσκελές τραπέζιο με .
Αν είναι η γωνία που σχηματίζουν οι πλευρές και με τη βάση του καναλιού τότε:
(α) να δειχθεί ότι το εμβαδόν της διατομής του καναλιού δίδεται από τον τύπο
(β) Να υπολογιστεί η γωνία έτσι ώστε το κανάλι να μεταφέρει την μεγαλύτερη δυνατή ποσότητα νερού.
Δεν θα έλεγα ότι είναι το ίδιο πρόβλημα, αλλά ότι απλώς ανήκει στην ίδια οικογένεια: μία ομοιότητα είναι ότι ενώ στο πρόβλημα του συνεορτάζοντος Γιώργη θεωρείται δεδομένο το κυκλικό της διατομής, εδώ θεωρείται δεδομένη η ^ μία διαφορά είναι ότι εκεί μπορούμε να 'κλείσουμε' το κανάλι προς τα πάνω, ενώ εδώ όχι. [Λάθος ... αν επιτραπεί η ή/και !]
Επίσης το πρόβλημα σου είναι πολύ ευκολότερο όσον αφορά την επίλυση του: με 'κυκλική διαίσθηση' -- διάβαζε εγγραψιμότητα τραπεζίου -- μπορούμε εκ των προτέρων να δούμε ότι η διατομή μεγιστοποιείται για , και η επίλυση της το επιβεβαιώνει αυτό.
Το κάνω λοιπόν πιο ενδιαφέρον, βγαίνοντας όμως και εκτός φακέλου, αφαιρώντας την συνθήκη : δίδεται απλώς το πλάτος του φύλλου και αναζητείται η γωνία , αλλά και οι διαστάσεις του τραπεζίου, που μεγιστοποιούν το εμβαδόν της διατομής!
Αν είναι η (κάτω) βάση του καναλιού -- όχι κατ' ανάγκην η μικρότερη βάση του ισοσκελούς τραπεζίου πλέον! -- και οι ίσες πλευρές, ισχύει η , ενώ η άλλη (επάνω) βάση ισούται προς (όπου ) και το ύψος ισούται προς . Συμπεραίνουμε ότι το εμβαδόν ισούται προς , και μηδενίζοντας τις μερικές παραγώγους λαμβάνουμε
Εξαιρώντας την τετριμμένη λαμβάνουμε και , αντίστοιχα, οπότε και εύκολα πλέον (οπότε άμεσα ) ... για μέγιστο εμβαδόν, που πρέπει να ελεγχθεί μέσω της 'γνωστής' ορίζουσας κλπ (παραλείπω τις λεπτομέρειες).
Βλέπουμε δηλαδή ότι η επανέρχεται θριαμβευτικά, ως συμπέρασμα () πλέον!
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5279
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Κοπιαστική απόδειξη του προφανούς
Αντιγράφω μια απόδειξη που μού άρεσε με την πρώτη ματιά:
Eίναι , σταθερό.
Έχει μέγιστο όταν η παράσταση έχει μέγιστο,
δηλαδή όταν έχει μέγιστο η παράσταση ,
για την οποία παρατηρούμε ότι το άθροισμα των όρων της είναι , σταθερό, άρα παρουσιάζει μέγιστο όταν, δηλαδή όταν .
Συμφωνώ απολύτως, ευχόμενος Χρόνια πολλά στον συνονόματο.
Τον δημιουργό της παραπάνω απόδειξης και την πηγή, φαντάζομαι θα την θυμήθηκε, πλέον, ο Γιώργος.
edit: Έκανα μια διόρθωση, με την υπόδειξη του Γιώργου Μπαλόγλου.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Τρί Μάιος 04, 2021 8:49 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3326
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Κοπιαστική απόδειξη του προφανούς
Γιώργο όχι, δεν θυμάμαι (αν εννοείς εμένα), αλλά, ΝΑΙ, πολύ αποτελεσματική προσέγγιση!Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑Δευ Μάιος 03, 2021 10:40 amΑντιγράφω μια απόδειξη που μού άρεσε με την πρώτη ματιά:
02-05-2021 Άλγεβρα.jpg
Eίναι , σταθερό.
Έχει μέγιστο όταν η παράσταση έχει μέγιστο,
δηλαδή όταν έχει μέγιστο η παράσταση ,
για την οποία παρατηρούμε ότι το άθροισμα των όρων της είναι , σταθερό, άρα παρουσιάζει μέγιστο όταν και , δηλαδή όταν .
Συμφωνώ απολύτως, ευχόμενος Χρόνια πολλά στον συνονόματο.
Τον δημιουργό της παραπάνω απόδειξης και την πηγή, φαντάζομαι θα την θυμήθηκε, πλέον, ο Γιώργος.
Ευχαριστώ πολύ και για τις ευχές, και φυσικά αντεύχομαι!
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5279
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Κοπιαστική απόδειξη του προφανούς
Καλησπέρα σε όλους.Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑Δευ Μάιος 03, 2021 10:40 amΤον δημιουργό της παραπάνω απόδειξης και την πηγή, φαντάζομαι θα την θυμήθηκε, πλέον, ο Γιώργος.
Η απόδειξη είναι του Yakov Perelman . Περιέχεται στα Διασκεδαστικά Μαθηματικά, τ.2 εκδόσεις Κάτοπτρο, 2001.
Την έχουμε συμπεριλάβει στην Οδό Μαθηματικής Σκέψης σε μια εκτενή αναφορά στο πρόβλημα της μέγιστης διατομής που μπορεί να έχει ένα λούκι σε ειδικές, αλλά και σε γενικευμένες περιπτώσεις.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5279
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Κοπιαστική απόδειξη του προφανούς
Ένας παρόμοιος συλλογισμός με αυτόν του Αλέξανδρου υπάρχει στη συνημμένη εικόναAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Μάιος 02, 2021 11:52 pmΘα μπορούσαμε να το δούμε ως εξής, αν δεν κάνω λάθος: Έστω ότι η καλύτερη δυνατή διατομή δεν είναι ημικυκλική. Τότε αν φανταστούμε ότι τοποθετούμε ένα άλλο κανάλι πάνω στο κανάλι μας συμμετρικό του. Τότε δημιουργείται μια κλειστή καμπύλη (εκτός της περίπτωσης "πλήρους" κύκλου). Αυτή η καμπύλη έχει σταθερό μήκος και έχει το μέγιστο εμβαδόν που μπορούμε να πετύχουμε με αυτή την σταθερή περίμετρο. Ως γνωστόν, όμως, το μεγαλύτερο εμβαδόν με σταθερή περίμετρο το έχει ο κύκλος. Άτοπο.
Βέβαια θεωρούμε γνωστή την λύση του ισοπεριμετρικού προβλήματος.
Σε επόμενη ανάρτηση μια απόδειξη στο αρχικό πρόβλημα με αμιγώς σχολικά μαθηματικά.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5279
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Κοπιαστική απόδειξη του προφανούς
Θα αποδείξουμε ότι το μέγιστο εμβαδόν διατομής έχουμε στο ημικύκλιο.
Χρησιμοποιώ τα σχήματα και τους συμβολισμούς του Γιώργου Μπαλόγλου, που απέδειξε τον τύπο παραπάνω.
Είναι
Θα αποδείξουμε ότι για κάθε είναι
Έστω
Είναι και
Είναι .
Είναι , οπότε εξίσωση έχει δύο ρίζες .
Επίσης,
Είναι και .
Η μονοτονία και το πρόσημο της φαίνονται στον πίνακα
Άρα , οπότε , με το ίσον όταν .
Χρησιμοποιώ τα σχήματα και τους συμβολισμούς του Γιώργου Μπαλόγλου, που απέδειξε τον τύπο παραπάνω.
Είναι
Θα αποδείξουμε ότι για κάθε είναι
Έστω
Είναι και
Είναι .
Είναι , οπότε εξίσωση έχει δύο ρίζες .
Επίσης,
Είναι και .
Η μονοτονία και το πρόσημο της φαίνονται στον πίνακα
Άρα , οπότε , με το ίσον όταν .
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3326
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Κοπιαστική απόδειξη του προφανούς
Με τις αποδείξεις του αρχικού προβλήματος ίσως ασχοληθώ αργότερα (αν έχω κάποια καλή ιδέα), όσον αφορά τα παραπάνω ισοπεριμετρικά: ενδιαφέροντα, αλλά όχι ακριβώς σχετιζόμενα προς το αρχικό πρόβλημα -- δεν ζητάμε δηλαδή το μέγιστο 'χορδικό εμβαδόν' που αντιστοιχεί σε όχι υποχρεωτικά κυκλικό τόξο δοθέντος μήκους, αλλά το μέγιστο 'χορδικό εμβαδόν' που αντιστοιχεί σε μεταβλητής γωνίας κυκλικό τόξο δοθέντος μήκους!Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑Παρ Μάιος 07, 2021 10:02 pmΈνας παρόμοιος συλλογισμός με αυτόν του Αλέξανδρου υπάρχει στη συνημμένη εικόναAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Μάιος 02, 2021 11:52 pmΘα μπορούσαμε να το δούμε ως εξής, αν δεν κάνω λάθος: Έστω ότι η καλύτερη δυνατή διατομή δεν είναι ημικυκλική. Τότε αν φανταστούμε ότι τοποθετούμε ένα άλλο κανάλι πάνω στο κανάλι μας συμμετρικό του. Τότε δημιουργείται μια κλειστή καμπύλη (εκτός της περίπτωσης "πλήρους" κύκλου). Αυτή η καμπύλη έχει σταθερό μήκος και έχει το μέγιστο εμβαδόν που μπορούμε να πετύχουμε με αυτή την σταθερή περίμετρο. Ως γνωστόν, όμως, το μεγαλύτερο εμβαδόν με σταθερή περίμετρο το έχει ο κύκλος. Άτοπο.
Βέβαια θεωρούμε γνωστή την λύση του ισοπεριμετρικού προβλήματος.
Οδός μαθηματικής σκέψης σσ.240-241.jpg
Σε επόμενη ανάρτηση μια απόδειξη στο αρχικό πρόβλημα με αμιγώς σχολικά μαθηματικά.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1779
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Κοπιαστική απόδειξη του προφανούς
Νομίζω το να περιοριστούμε σε κυκλικά τόξα είναι υποσύνολο των καμπυλών του ισοπεριμετρικού προβλήματος, οπότε το ισοπεριμετρικό πρόβλημα είναι πιο γενικό αλλά όχι απαραίτητα διαφορετικό από αυτό που θέλουμε.gbaloglou έγραψε: ↑Κυρ Μάιος 09, 2021 10:55 am
Με τις αποδείξεις του αρχικού προβλήματος ίσως ασχοληθώ αργότερα (αν έχω κάποια καλή ιδέα), όσον αφορά τα παραπάνω ισοπεριμετρικά: ενδιαφέροντα, αλλά όχι ακριβώς σχετιζόμενα προς το αρχικό πρόβλημα -- δεν ζητάμε δηλαδή το μέγιστο 'χορδικό εμβαδόν' που αντιστοιχεί σε όχι υποχρεωτικά κυκλικό τόξο δοθέντος μήκους, αλλά το μέγιστο 'χορδικό εμβαδόν' που αντιστοιχεί σε μεταβλητής γωνίας κυκλικό τόξο δοθέντος μήκους!
Έχουμε ως δεδομένο το σταθερό μήκος της λαμαρίνας μέτρου. Έχουμε επίσης δεδομένο οτι θέλουμε να κατασκευάσουμε διατομή σχήματος κυκλικού τμήματος ( τόξου). Από όλα τα δυνατά σχήματα που μπορούμε να φτιάξουμε με την λαμαρίνα ήδη έχουμε περιοριστεί σε κυκλικά.
Αν προσδιορίσουμε πιο κομμάτι του κύκλου μας δίνει το μέγιστο εμβαδόν, τότε από αυτό μπορούμε να υπολογίσουμε και την ακτίνα που θέλουμε (το ζητούμενο, η κατασκευή). Αν για παραδειγμα προσδιορίσουμε ότι το μέγιστο εμβαδόν διατομής μας το δίνουν τα του κύκλου, τότε η ακτίνα που ψάχνουμε θα είναι .
Αν θεωρήσουμε ότι κάνουμε ημικυκλική διατομή, τότε για την ακτίνα θα ισχύει . Το εμβαδόν της διατομής σε αυτή την περίπτωση είναι .
Αν θέλουμε να φτιάξουμε όλο το κυκλικό τμήμα, δηλαδή να φτιάξουμε σωλήνα, τότε η ακτίνα πρέπει να είναι . Σε αυτήν την περίπτωση το αντίστοιχο εμβαδόν είναι .
Παρατηρούμε ότι έχουμε μικρότερο εμβαδόν διατομής από, ότι αν φτιάχναμε ημικύκλιο. Δηλαδή δεν μας συμφέρει να φτιάξουμε σωλήνα, αλλά ανοιχτό κανάλι.
Τώρα, έστω ότι το ημικύκλιο δεν είναι το καλύτερο δυνατό κανάλι, αλλά κάποιο άλλο τόξο . Θεωρούμε το συμμετρικό του τόξο ως προς την ευθεία και εξετάζουμε την καμπύλη . Δηλαδή μια κλειστή καμπύλη (σωλήνα) μήκους και εμβαδόν διατομής .
Επίσης θεωρούμε και την αντίστοιχη κλειστή καμπύλη που προκύπτει από ημικύκλιο μήκους . Αυτή θα έχει μήκος και θα είναι ένας κύκλος. Με εμβαδόν , .
Όμως από όλες τις καμπύλες με μήκος το μέγιστο εμβαδόν το έχει ο κύκλος απότε , άτοπο.
Άρα δεν μπορεί να έχουμε κατι καλύτερο από ημικυκλική διατομή και η ζητούμενη ακτίνα είναι
Τα παραπάνω ήταν περισσότερο για τον τίτλο "προφανούς" και πως μπορούμε να δικαιολογήσουμε τον τίτλο.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3326
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Κοπιαστική απόδειξη του προφανούς
Αλέξανδρε πράγματι, υπάρχει έλλειμμα (μαθηματικής) λογικής σ' αυτό που γράφω παραπάνω: χρειαζόμαστε την , αν είναι ήδη διαθέσιμες οι και , τότε αυτή που χρειαζόμαστε είναι άμεση από την . [Βεβαίως εδώ = Ισοπεριμετρική ανισότητα, = μέγιστη κυκλική διατομή, = μέγιστη διατομή.]Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Μάιος 09, 2021 1:37 pmΝομίζω το να περιοριστούμε σε κυκλικά τόξα είναι υποσύνολο των καμπυλών του ισοπεριμετρικού προβλήματος, οπότε το ισοπεριμετρικό πρόβλημα είναι πιο γενικό αλλά όχι απαραίτητα διαφορετικό από αυτό που θέλουμε.gbaloglou έγραψε: ↑Κυρ Μάιος 09, 2021 10:55 am
Με τις αποδείξεις του αρχικού προβλήματος ίσως ασχοληθώ αργότερα (αν έχω κάποια καλή ιδέα), όσον αφορά τα παραπάνω ισοπεριμετρικά: ενδιαφέροντα, αλλά όχι ακριβώς σχετιζόμενα προς το αρχικό πρόβλημα -- δεν ζητάμε δηλαδή το μέγιστο 'χορδικό εμβαδόν' που αντιστοιχεί σε όχι υποχρεωτικά κυκλικό τόξο δοθέντος μήκους, αλλά το μέγιστο 'χορδικό εμβαδόν' που αντιστοιχεί σε μεταβλητής γωνίας κυκλικό τόξο δοθέντος μήκους!
Παραλείπω εδώ την χρήσιμη συζήτηση σου, Αλέξανδρε, παραπέμποντας στην αμέσως προηγούμενη δημοσίευση (σου).
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3326
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Κοπιαστική απόδειξη του προφανούς
Εδώ αλλάζουμε ρότα ... για απλούστερη απόδειξη των δύο αμέσως παραπάνω ισχυρισμών! Παρατηρούμε ότι , οπότε αρκεί να δειχθούν οι και για το τυχόν σημείο όπου και για το τυχόν σημείο όπου , αντίστοιχα: αυτοί οι δύο ισχυρισμοί προκύπτουν άμεσα από τις , , .gbaloglou έγραψε: ↑Κυρ Μάιος 02, 2021 10:56 pmδιατομή.png
Εξαιρετικό θέμα που δυστυχώς ξεχάστηκε -- τέτοιες 'κατασκευές' θα έπρεπε να απασχολούν τους νέους!
Προτιμώ να εργαστώ με πλάτος φύλλου λαμαρίνας T (αντί ενός μέτρου). Όπως δείχνω και στο συνημμένο, έχουμε δύο περιπτώσεις (που καταλήγουν πάντως στον ίδιο τύπο):
(Ι) [] 'Μικρή' διατομή = κυκλικός τομέας - τρίγωνο =
(II) [] 'Μεγάλη' διατομή = κυκλικός τομέας + τρίγωνο =
Αρκεί λοιπόν να μεγιστοποιηθεί η για .
Για την μελέτη του προσήμου της παραγώγου αρκεί βεβαίως να μελετηθεί ο αριθμητής . Εδώ ... είτε κάποιο γραφιστικό πακέτο -- δεν συνιστώ την χρήση τους, όχι κατά την πρώτη ή δεύτερη προσπάθεια τουλάχιστον, σε όσους μαθαίνουν Λογισμό -- είτε η διακριτική υπόδειξη του θεματοδότη σε πιθανό συνδυασμό με την δική μας παρατηρητικότητα και εγρήγορση ... υποδεικνύουν πιθανό μέγιστο για , και όντως . Περαιτέρω διαίσθηση ή/και κοινή λογική συνιστούν για και για .
[Η παραπάνω μέθοδος είναι, νομίζω, αρκετά 'γνωστή' ώστε να θεωρείται σχολική: αν και για το τυχόν σημείο όπου , τότε για , με αντίστοιχο αποτέλεσμα για . Δεν εφαρμόζεται πάντοτε, διότι η ζητούμενη είναι συχνά υπερβολικά ισχυρή -- στην συγκεκριμένη περίπτωση ήμασταν ιδιαίτερα τυχεροί, καθώς όχι μόνον ισχύει αλλά είναι και τετριμμένη. (Να σημειωθεί επίσης ότι το σημείο τοπικού ακρότατου μπορεί να μην υπάρχει καν, στο συγκεκριμένο πρόβλημα για παράδειγμα υπάρχει στο , ισχύει δηλαδή η για , αλλά όχι και στο -- απόλυτα συμβατό αυτό με την μειωμένη δυσκολία επίλυσης στο δεύτερο διάστημα (αν ακολουθήσει κανείς είτε την αρχική μου απόδειξη είτε, πιθανολογώ εδώ, αυτήν του Γιώργου Ρίζου).]
τελευταία επεξεργασία από gbaloglou σε Τρί Μάιος 11, 2021 10:56 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3326
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Κοπιαστική απόδειξη του προφανούς
Παραθέτω και ένα σχήμα σχετιζόμενο προς τα παραπάνω: η 'βοηθητική καμπύλη' -- τιμές της αρχικής συνάρτησης στα σημεία όπου , τιμές δηλαδή της -- τέμνει την αρχική συνάρτηση σε ένα ακριβώς σημείο στο και σε κανένα στο , γενικότερα αρχική και βοηθητική είναι πολύ πιο κοντά η μία στην άλλη στο πρώτο διάστημα. (Σε άλλα προβλήματα όπου η μέθοδος αποτυγχάνει ... η βοηθητική καμπύλη μπορεί και να λαμβάνει αρνητικές τιμές εκεί που την θέλουμε θετική (ή αντίστροφα), εδώ απλώς είναι 'λιγότερο θετική' από την αρχική καθώς πλησιάζουμε στο )!gbaloglou έγραψε: ↑Δευ Μάιος 10, 2021 11:46 amΕδώ αλλάζουμε ρότα ... για απλούστερη απόδειξη των δύο αμέσως παραπάνω ισχυρισμών! Παρατηρούμε ότι , οπότε αρκεί να δειχθούν οι και για το τυχόν σημείο όπου και για το τυχόν σημείο όπου , αντίστοιχα: αυτοί οι δύο ισχυρισμοί προκύπτουν άμεσα από τις , , .gbaloglou έγραψε: ↑Κυρ Μάιος 02, 2021 10:56 pmδιατομή.png
Εξαιρετικό θέμα που δυστυχώς ξεχάστηκε -- τέτοιες 'κατασκευές' θα έπρεπε να απασχολούν τους νέους!
Προτιμώ να εργαστώ με πλάτος φύλλου λαμαρίνας T (αντί ενός μέτρου). Όπως δείχνω και στο συνημμένο, έχουμε δύο περιπτώσεις (που καταλήγουν πάντως στον ίδιο τύπο):
(Ι) [] 'Μικρή' διατομή = κυκλικός τομέας - τρίγωνο =
(II) [] 'Μεγάλη' διατομή = κυκλικός τομέας + τρίγωνο =
Αρκεί λοιπόν να μεγιστοποιηθεί η για .
Για την μελέτη του προσήμου της παραγώγου αρκεί βεβαίως να μελετηθεί ο αριθμητής . Εδώ ... είτε κάποιο γραφιστικό πακέτο -- δεν συνιστώ την χρήση τους, όχι κατά την πρώτη ή δεύτερη προσπάθεια τουλάχιστον, σε όσους μαθαίνουν Λογισμό -- είτε η διακριτική υπόδειξη του θεματοδότη σε πιθανό συνδυασμό με την δική μας παρατηρητικότητα και εγρήγορση ... υποδεικνύουν πιθανό μέγιστο για , και όντως . Περαιτέρω διαίσθηση ή/και κοινή λογική συνιστούν για και για .
[Η παραπάνω μέθοδος είναι, νομίζω, αρκετά 'γνωστή' ώστε να θεωρείται σχολική: αν και για το τυχόν σημείο όπου , τότε για , με αντίστοιχο αποτέλεσμα για . Δεν εφαρμόζεται πάντοτε, διότι η ζητούμενη είναι συχνά υπερβολικά ισχυρή -- στην συγκεκριμένη περίπτωση ήμασταν ιδιαίτερα τυχεροί, καθώς όχι μόνον ισχύει αλλά είναι και τετριμμένη. (Να σημειωθεί επίσης ότι το σημείο τοπικού ακρότατου μπορεί να μην υπάρχει καν, στο συγκεκριμένο πρόβλημα για παράδειγμα υπάρχει στο , ισχύει δηλαδή η για , αλλά όχι και στο -- απόλυτα συμβατό αυτό με την μειωμένη δυσκολία επίλυσης στο δεύτερο διάστημα (αν ακολουθήσει κανείς είτε την αρχική μου απόδειξη είτε, πιθανολογώ εδώ, αυτήν του Γιώργου Ρίζου).]
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες