Μελέτη εμβαδοσυνάρτησης

KARKAR · #1

: Εμβαδοσυνάρτηση.png (7.2 KiB) Προβλήθηκε 396 φορές

Στην μεγάλη πλευρά AB=7

, του διαστάσεων $7\times 4$ ορθογωνίου ABCD

, κινείται σημείο

.

Έστω σημείο

της

, τέτοιο ώστε : $\widehat{DST}=90^0$ . Υπολογίστε το εμβαδόν του τετραπλεύρου

DSTC

, συναρτήσει του BS=x

και μελετήστε πλήρως αυτήν την συνάρτηση ( σχεδιάστε σχήμα ! )

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 25, 2020 8:51 am
Εμβαδοσυνάρτηση.pngΣτην μεγάλη πλευρά , του διαστάσεων $7\times 4$ ορθογωνίου , κινείται σημείο .

Έστω σημείο της , τέτοιο ώστε : $\widehat{DST}=90^0$ . Υπολογίστε το εμβαδόν του τετραπλεύρου

, συναρτήσει του και μελετήστε πλήρως αυτήν την συνάρτηση ( σχεδιάστε σχήμα ! )

Στο σχήμα του Θανάση: $\displaystyle \frac{{BT}}{{7 - x}} = \frac{x}{4} \Leftrightarrow BT = \frac{{7x - {x^2}}}{4}$

$\displaystyle (DSTC) = (ABCD) - (ASD) - (BST) = 28 - 2(7 - x) - \frac{x}{2} \cdot \frac{{7x - {x^2}}}{4} \Leftrightarrow$

$\boxed{(DSTC) = f(x) = \frac{{{x^3}}}{8} - \frac{{7{x^2}}}{8} + 2x + 14,0 \le x \le 7}$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle f'(x) = \frac{{3{x^2}}}{8} - \frac{{14x}}{8} + 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \in [0,2] \cup \left[ {\frac{8}{3},4} \right]$

Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα $\displaystyle [0,2],\left[ {\frac{8}{3},4} \right]$ και γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle \left[ {2,\frac{8}{3}} \right].$

: Εμβαδοσυνάρτηση.Κ.png (4.25 KiB) Προβλήθηκε 379 φορές

Έχει ολικό ελάχιστο f(0)=14,

ολικό μέγιστο f(7)=28,

τ. μέγιστο $\displaystyle f(2) = \frac{{31}}{2}$ και τ. ελάχιστο $\displaystyle f\left( {\frac{8}{3}} \right) = \frac{{418}}{{27}}.$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle f''(x) = \frac{{3x - 7}}{4}.$ Έχουμε λοιπόν κοίλα κάτω στο $\displaystyle \left[ {0,\frac{7}{3}} \right],$ κοίλα άνω στο $\displaystyle \left[ {\frac{7}{3}, 4} \right]$ και σημείο καμπής το $\displaystyle A\left( {\frac{7}{3},\frac{{3346}}{{216}}} \right)$

Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται σε μεγέθυνση το τοπικό μέγιστο(Τ.Μ), το τοπικό ελάχιστο (Τ.Ε) και το σημείο καμπής

: Εμβαδοσυνάρτηση.Κ1.png (7.2 KiB) Προβλήθηκε 365 φορές

#3

Τα τρίγωνα $ADS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BST$ είναι προφανώς όμοια .

Θέτω : $m = 7 - x = AS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,k = BT\,\,\,\mu \varepsilon \,\,x \in \left[ {0,7} \right]$ και από την αναλογία: $\dfrac{{7 - x}}{k} = \dfrac{4}{x}$ έχω: $\boxed{k = \frac{{x\left( {7 - x} \right)}}{4}}\,\,\left( 1 \right)$ . Το εμβαδόν είναι :

$f\left( x \right) = 28 - \dfrac{1}{2}\left( {4m + kx} \right) = \dfrac{1}{8}\left( {{x^3} - 7{x^2} + 16x + 112} \right)$ με $f'\left( x \right) = \dfrac{1}{8}\left( {3{x^2} - 14x + 16} \right)$

Η παράγωγος μηδενίζεται στα σημεία ${x_1} = 2\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{x_2} = \dfrac{8}{3}$

: Εμβαδονσυνάρτηση.png (11.44 KiB) Προβλήθηκε 364 φορές

Η συνάρτηση έχει (οριακές στην πράξη ) τιμές στα άκρα του πεδίου ορισμού

$14\,\,\kappa \alpha \iota \,\,28$ , παρουσιάζει στο ${x_1} = 2\,\,$ τοπικό μέγιστο $f\left( 2 \right) = \dfrac{{31}}{2}$ και στο ${x_2} = \dfrac{8}{3}$

Τοπικό ελάχιστο : $f\left( {\dfrac{8}{3}} \right) = \dfrac{{418}}{{27}} \simeq 15,481$

Στα διαστήματα : $\left[ {0,2} \right]\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left[ {\dfrac{8}{3},7} \right]$ είναι γνήσια αύξουσα ενώ στο $\left[ {2,\dfrac{8}{3}} \right]$ είναι γνήσια φθίνουσα.

: Γραφική παράσταση εμβαδοσυνάρτησης.png (15 KiB) Προβλήθηκε 364 φορές

Εντάξει τα έγραψε κι ο Γιώργος .

Μελέτη εμβαδοσυνάρτησης

Μελέτη εμβαδοσυνάρτησης

Re: Μελέτη εμβαδοσυνάρτησης

Re: Μελέτη εμβαδοσυνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση