Με απλά υλικά (30)

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1526
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Με απλά υλικά (30)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τρί Σεπ 15, 2020 12:53 pm

Δίνεται το ευθύγραμμο τμήμα \displaystyle AB , σταθερού μήκους \displaystyle a και το σημείο \displaystyle D του \displaystyle AB με \displaystyle (AD)=x<\frac{a}{2}.
Γράφουμε δύο ημικύκλια με ακτίνα \displaystyle x και διάμετρο \displaystyle DB , αντίστοιχα , τα οποία τέμνονται στο \displaystyle E.
Βρείτε το \displaystyle x και τη γωνία \displaystyle DBE ώστε το \displaystyle (DBE) να είναι το μέγιστο δυνατό .
Συνημμένα
semi.png
semi.png (30.11 KiB) Προβλήθηκε 225 φορές


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12430
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Με απλά υλικά (30)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Σεπ 15, 2020 1:50 pm

exdx έγραψε:
Τρί Σεπ 15, 2020 12:53 pm
Δίνεται το ευθύγραμμο τμήμα \displaystyle AB , σταθερού μήκους \displaystyle a και το σημείο \displaystyle D του \displaystyle AB με \displaystyle (AD)=x<\frac{a}{2}.
Γράφουμε δύο ημικύκλια με ακτίνα \displaystyle x και διάμετρο \displaystyle DB , αντίστοιχα , τα οποία τέμνονται στο \displaystyle E.
Βρείτε το \displaystyle x και τη γωνία \displaystyle DBE ώστε το \displaystyle (DBE) να είναι το μέγιστο δυνατό .
Από ΑΜ-ΓΜ έχουμε

\displaystyle{(DEB)^2= \frac {1}{4} DE^2\cdot BE^2= \frac {1}{4} x^2[(a-x)^2-x^2]= \frac {1}{4} x^2[a^2-2ax]= \frac {1}{4a^2} (ax)(ax)(a^2-2ax) \le }

\displaystyle{\le   \frac {1}{4a^2}\left ( \frac {1}{3} (ax+ax+(a^2-2ax)}\right ) ^3=  \frac {1}{4\cdot 27 } {a^2} } με ισότητα αν x=a/3. Και λοιπά.


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 269
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Με απλά υλικά (30)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Τρί Σεπ 15, 2020 3:16 pm

Για 0<x<\frac{a}{2} έχουμε (DE)=x και (DB)=a-x άρα, αφού το \triangle DBE είναι ορθογώνιο (βαίνει σε ημικύκλιο), έπεται ότι:

\displaystyle{(BE)=\sqrt{(a-x)^2-x^2}=\sqrt{a^2-2ax}.}

Τώρα, έχουμε:

\displaystyle{(DBE)=\frac{1}{2}x\sqrt{a^2-2ax}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2x^2-2ax^3}.}

Αρκεί να μεγιστοποιήσουμε την f(x)=a^2x^2-2ax^3. Έχουμε:

\displaystyle{f'(x)=2a^2x-6ax^2=2ax(a-3x).}

Από εδώ εύκολα βλέπουμε ότι η τιμή του x για την οποία το ζητούμενο εμβαδό γίνεται μέγιστο είναι x=\frac{a}{3}, ενώ τότε έχουμε:

\displaystyle{(DE)=\frac{a}{3}\text{\gr και }(DB)=\frac{2a}{3}\Rightarrow\sin DBE=\frac{\frac{a}{3}}{\frac{2a}{3}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \angle DBE=\frac{\pi}{6}.}


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης