Με απλά υλικά (28)

#1

Δίνεται τεταρτοκύκλιο $\displaystyle ABE$ κέντρου $\displaystyle A(0,0)$ και ακτίνας $\displaystyle r=1$ . Σημείο $\displaystyle K(x,0)$ κινείται στο εσωτερικό της $\displaystyle AB$ .
Η κάθετη στην $\displaystyle AB$ στο $\displaystyle K$ τέμνει το τόξο $\displaystyle EB$ στο $\displaystyle M$ .
α) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του $\displaystyle \left( KAEM \right)$ β) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του $\displaystyle EM+MK$

#2

exdx έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 08, 2020 3:38 pm
Δίνεται τεταρτοκύκλιο $\displaystyle ABE$ κέντρου $\displaystyle A(0,0)$ και ακτίνας $\displaystyle r=1$ . Σημείο $\displaystyle K(x,0)$ κινείται στο εσωτερικό της $\displaystyle AB$ .
Η κάθετη στην $\displaystyle AB$ στο $\displaystyle K$ τέμνει το τόξο $\displaystyle EB$ στο $\displaystyle M$ .
α) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του $\displaystyle \left( KAEM \right)$ β) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του $\displaystyle EM+MK$

Καλησπέρα Γιώργη!

: Με απλά υλικά (28).png (11.13 KiB) Προβλήθηκε 612 φορές

α) $\displaystyle (KAEM) = \frac{{MK + AE}}{2}x = \frac{{\sqrt {1 - {x^2}} + 1}}{2}x$ Η συνάρτηση $\displaystyle f(x) = \frac{x}{2}\left( {\sqrt {1 - {x^2}} + 1} \right)$ έχει παράγωγο

$\displaystyle f'(x) = \frac{{1 - 2{x^2} + \sqrt {1 - {x^2}} }}{{2\sqrt {1 - {x^2}} }}$ και παρουσιάζει για $\boxed{x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}}$ μέγιστο ίσο με $\boxed{{(KAEM)_{\max }} = \frac{{3\sqrt 3 }}{8}}$

β) $\displaystyle \cos (M\widehat AE) = \sin (K\widehat AM) = \sqrt {1 - {x^2}}$ και με νόμο συνημιτόνου στο AME,

$\displaystyle EM = \sqrt {2 - 2\sqrt {1 - {x^2}} }$

$\displaystyle EM + MK = \sqrt {2 - 2\sqrt {1 - {x^2}} } + \sqrt {1 - {x^2}} = \sqrt {2(1 - t)} + t,$ όπου $\displaystyle t = \sqrt {1 - {x^2}}$

$\displaystyle EM + MK = g(t) = \sqrt {2(1 - t)} + t \Rightarrow g'(t) = 1 - \frac{1}{{\sqrt {2(1 - t)} }}.$ Και εδώ έχουμε μέγιστο για

$\displaystyle t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}}$ ίσο με $\boxed{{(EM + MK)_{\max }} = \frac{3}{2}}$

Η θέση του μέγιστου και για τα δύο ερωτήματα είναι ίδια και το τρίγωνο AME

είναι ισόπλευρο.

Ratio · #3

Αν $\widehat{MEA}=\theta\Leftrightarrow \widehat{MAC}=\frac{\pi}{2}-\theta$ και το εμβαδόν του τραπεζίου θα είναι
$\Omega (R,\theta)=\frac{1}{2}R^2sin\theta+\frac{1}{2}R(AK)cos\theta$
με $AK=sin\theta$ από το ορθογώνιο τρίγωνο AKM

, λόγω συμπληρωματικότητας των γωνιών
Για R=1

το εμβαδό ως συνάρτηση του $\theta$ είναι $\Omega (\theta)=\frac{1}{2}sin\theta(1+cos\theta)$

με παράγωγο: $\Omega '(theta)=\cos^2\theta-\frac{1}{2}cos\theta-\frac{1}{2}$ η οποία δίνει ώς λύσεις $cos\theta=-1 \Leftrightarrow \theta=\pi$ ή $cos\theta=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \theta=\frac{\pi}{3}$
$\Omega' (\theta)=(cos\theta+1)(cos\theta-\frac{1}{2})$
όπου $cos\theta+1>0 , \theta\in(0,\frac{\pi}{2}$ και επειδή $cos\theta \downarrow, \theta \in (0,\frac{\pi}{2}) \Leftrightarrow cos\theta-\frac{1}{2}>0 , \theta \in (0,\frac{\pi}{3})$ και $cos\theta-\frac{1}{2}<0 , \theta \in (\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2})$
Επομένως $\Omega (\theta) \uparrow \theta \in (0,\frac{\pi}{3})$ και $\Omega (\theta) \downarrow \theta \in (\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2})$

$\Omega_{max}=\Omega(\frac{\pi}{3})=\frac{3\sqrt{3}}{8}$

Ευχαριστώ τον κύριο Καλαθάκη για την επισήμανση του τυπογραφικού λάθους

Με απλά υλικά (28)

Με απλά υλικά (28)

Re: Με απλά υλικά (28)

Re: Με απλά υλικά (28)

Μέλη σε σύνδεση