Ώρα εφαπτομένης 48

KARKAR · #1

: Ώρα εφαπτομένης 48.png (6.67 KiB) Προβλήθηκε 637 φορές

Οι κάθετες πλευρές OA , OB

του ορθογωνίου τριγώνου OAB

μεταβάλλονται , έτσι ώστε , αν : OB=a ,(a>1)

,

τότε να είναι : $OA=\ell na$ . Φέρουμε την διάμεσο

και το ύψος

. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της $\tan\theta$ .

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Μια προσέγγιση :

Είναι : $\displaystyle \tan \left( \frac{\pi }{2}-2w \right)=\cot \left( 2w \right)=\frac{co{{t}^{2}}w-1}{2\cot w}=\frac{\frac{{{a}^{2}}}{{{\ln }^{2}}a}-1}{2\frac{a}{\ln a}}=\frac{{{a}^{2}}-{{\ln }^{2}}a}{2a\ln a}$
Έατω : $\displaystyle f(a)=\frac{{{a}^{2}}-{{\ln }^{2}}a}{2a\ln a}\,\,,a>1$ , οπότε $\displaystyle {f}'(a)=\frac{\left( \ln a-1 \right)({{a}^{2}}+{{\ln }^{2}}a)}{2{{a}^{2}}{{\ln }^{2}}a}\,\,,a>1$
και $\displaystyle {f}'(a)\ge 0\Leftrightarrow a\ge e$ ,άρα στο $\displaystyle a=e\,$ παρουσιάζει ελάχιστο ίσο με $\displaystyle \,f(e)=\frac{e}{2}-\frac{1}{2e}$

angvl · #4

Απο Π.Θ στο ΑΟΒ : $\displaystyle AB = \sqrt{a^2+ln^2 a}$

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90) ισχύει : $\displaystyle \beta \gamma = \alpha \upsilon_{\alpha}$ άρα στο ΑΟΒ :

$\displaystyle OD = \dfrac{OA OB}{AB} \Rightarrow$ $\boxed {OD = \dfrac{a lna}{\sqrt{a^2+ln^2 a}}}$

Απο Π.Θ στο ΟDM : $\displaystyle DM = \sqrt{OM^2-OD^2} = \sqrt{\dfrac{AB^2}{4}-OD^2}=...=\sqrt{\dfrac{(a^2-ln^2 a)^2}{4(a^2+ln^2 a)}}=\dfrac{|a^2-ln^2 a|}{2\sqrt{a^2+ln^2 a}}$

Aλλά για κάθε x>0

ισχύει

(εφαρμογή σχολικού) άρα $\displaystyle \boxed{ DM = \dfrac{a^2-ln^2 a}{2\sqrt{a^2+ln^2 a}}}$

Συνεπώς σπ το τρίγωνο ODM : $\displaystyle \tan \theta = \dfrac{DM}{OD} = \dfrac{a^2-ln^2 a}{2a lna}$ .Θέτω $\boxed {f(a)= \dfrac{a^2-ln^2 a}{2a \ln a}}, a>1$

$\displaystyle {f}'(a)=\frac{\left( \ln a-1 \right)({{a}^{2}}+{{\ln }^{2}}a)}{2{{a}^{2}}{{\ln }^{2}}a}\,\,,a>1$ και $f'(a) = 0 \Rightarrow \ln a - 1=0 \Rightarrow a = e$

Οπότε αν $\displaystyle 1<a<e \Rightarrow 0<\ln a<1 \Rightarrow f'(a) < 0 \Rightarrow f$ φθίνουσα και αν $\displaystyle a>e \Rightarrow \ln a >1 \Rightarrow f'(a)>0 \Rightarrow f$ αύξουσα.

Αρα στο $\, a = e$ η

παρουσιάζει ελάχιστο με τιμή $\displaystyle \boxed{ f(e) = \dfrac{e^2-1}{2e}}$

#5

$\displaystyle AB = \sqrt {{a^2} + {{\ln }^2}a}$

: Ώρα εφαπτομένης.48.png (8.83 KiB) Προβλήθηκε 564 φορές

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle DM = DB - MB = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {{\ln }^2}a} }} - \frac{{\sqrt {{a^2} + {{\ln }^2}a} }}{2} = \frac{{{a^2} - {{\ln }^2}a}}{{2\sqrt {{a^2} + {{\ln }^2}a} }}$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle OD = \sqrt {AD \cdot DB} = \sqrt {\frac{{{{\ln }^2}a}}{{\sqrt {{a^2} + {{\ln }^2}a} }} \cdot \frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {{\ln }^2}a} }}} = \frac{{a\ln a}}{{\sqrt {{a^2} + {{\ln }^2}a} }}$

$\displaystyle \tan \theta = \frac{{DM}}{{OD}} = \frac{{{a^2} - {{\ln }^2}a}}{{2a\ln a}}.$ Τα υπόλοιπα όπως και οι προηγούμενοι.

#6

: Ωρα εφαπτομένης 48.png (14.16 KiB) Προβλήθηκε 531 φορές

Ας είναι $B\left( {a,0} \right)\,\,\,,a > 1$ οπότε $A\left( {0,\ln a} \right)$ , $M\left( {\dfrac{a}{2},\dfrac{{\ln a}}{2}} \right)$ και άρα το $\overrightarrow {OM}$ έχει κλίση :

$\boxed{{\lambda _1} = \frac{{\ln a}}{a}}$ . Επειδή $\overrightarrow {AB} = \left( {a, - \ln a} \right)$ με κλίση , $\dfrac{{ - \ln a}}{a}$ η κλίση του $\overrightarrow {OD}$ είναι

$\boxed{{\lambda _2} = \frac{a}{{\ln a}}}$ . Επειδή $\ln a \leqslant a - 1 < a$ και $\ln a > 0$ (αφού a > 1

) θα είναι : ${\lambda _2} > {\lambda _1}$

οπότε για την οξεία γωνία, $\theta$ , των ευθειών $OM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OD$ θα είναι :

$\boxed{\tan \theta = \frac{{{\lambda _2} - {\lambda _1}}}{{1 + {\lambda _2}{\lambda _1}}} = \frac{{{a^2} - {{\ln }^2}a}}{{2a\ln a}} = f(a)}$ η συνάρτηση αυτή παρουσιάζει ελάχιστη τιμή

για a = e

την $\boxed{{{\left( {\tan a} \right)}_{\min }} = f(e) = \frac{{e - {e^{ - 1}}}}{2}}$

Ώρα εφαπτομένης 48

Ώρα εφαπτομένης 48

Re: Ώρα εφαπτομένης 48

Re: Ώρα εφαπτομένης 48

Re: Ώρα εφαπτομένης 48

Re: Ώρα εφαπτομένης 48

Re: Ώρα εφαπτομένης 48

Μέλη σε σύνδεση