Παραμετρική εξίσωση

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1139
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Παραμετρική εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Ιουν 28, 2020 3:44 pm

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου a, για κάθε μια από τις οποίες η εξίσωση

\displaystyle{a\sqrt{1-\dfrac{1}{x^2}}+\left | 1-\dfrac{\left | x \right |}{2} \right |=1}

έχει ακριβώς δυο διαφορετικές ρίζες.



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 653
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Παραμετρική εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Ιουν 29, 2020 2:48 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Κυρ Ιουν 28, 2020 3:44 pm
Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου a, για κάθε μια από τις οποίες η εξίσωση

\displaystyle{a\sqrt{1-\dfrac{1}{x^2}}+\left | 1-\dfrac{\left | x \right |}{2} \right |=1}

έχει ακριβώς δυο διαφορετικές ρίζες.
Είναι a \in(-\infty,1)\cup (\frac{2}{\sqrt{3}},+\infty).

To σύνολο ορισμού είναι το (-\infty,-1]\cup [1,+\infty). Παρατηρούμε ότι αν ο x είναι ρίζα της εξίσωσης τότε

και ο -x θα είναι. Επομένως μπορούμε να δουλέψουμε στο [1,+\infty) και να βρούμε τα a ώστε

η εξίσωση να έχει μία ρίζα μόνο. Επίσης, για κάθε a ο αριθμός x=1 δεν είναι ρίζα της εξίσωσης.

Τελικά περιοριζόμαστε στο (1,+\infty). Θέτουμε y=1-\dfrac{1}{x^2}}(1-1 μετασχηματισμός) και θα ισχύει τότε ότι

y\in (0,1). H εξίσωση παίρνει την μορφή a\sqrt{y}+\left | 1-\dfrac{1}{2\sqrt{1-y}} \right |=1 και πετώντας τα

απόλυτα οδηγούμαστε στις

a\sqrt{y}+ 1-\dfrac{1}{2\sqrt{1-y}} =1,y\in(0,\dfrac{3}{4}]\Leftrightarrow \dfrac{1}{2\sqrt{y(1-y)}}=a,y\in(0,\dfrac{3}{4}]

και

a\sqrt{y}- 1+\dfrac{1}{2\sqrt{1-y}} =1,y\in(\dfrac{3}{4},1)\Leftrightarrow \dfrac{2}{\sqrt{y}}-\dfrac{1}{2\sqrt{y(1-y)}} =a,y\in(\dfrac{3}{4},1).

Θεωρούμε τώρα τη συνάρτηση

f(y)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{2\sqrt{y(1-y)}}, &y\in(0,\frac{3}{4}] \\ \dfrac{2}{\sqrt{y}}-\dfrac{1}{2\sqrt{y(1-y)}}, &y\in(\frac{3}{4},1) \end{matrix}\right.,


η οποία είναι συνεχής. Θα την μελετήσουμε ως προς το σύνολο τιμών της και τη μονοτονία. Για y\in(0,\frac{3}{4}] έχουμε ότι το

τριώνυμο y(1-y) αυξάνει στο [0,\frac{1}{2}] και μειώνεται στο [\frac{1}{2},\frac{3}{4}].

Επομένως, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,\frac{1}{2}] και γνησίως αύξουσα στο [\frac{1}{2},\frac{3}{4}].

Το σύνολο τιμών της, για y\in(0,\frac{3}{4}], είναι το

[f(\frac{1}{2}),\lim_{y\rightarrow 0}f(y))\cup [f(\frac{1}{2}),f(\frac{3}{4})]=[1,+\infty)\cup [1,\frac{2}{\sqrt{3}}]=[1,+\infty).

Επίσης για  y\in(\frac{3}{4},1) η f είναι γνησίως φθίνουσα αφού

{f}'(y)=-y^{-3/2}+\dfrac{1}{4}\left ( (y-y^2) ^{-3/2}\right(1-2y) )<0

όπως μπορούμε εύκολα να δούμε (η παρένθεση είναι αρνητική).

Άρα το σύνολο τιμών της, για y\in(\frac{3}{4},1) , είναι το (\lim_{y\rightarrow 1}f(y),f(\frac{3}{4}))=(-\infty,\frac{2}{\sqrt{3}}).

Κάνοντας μια πρόχειρη γραφική παράσταση βλέπουμε τελικά ότι τα ζητούμενα a είναι όλοι οι αριθμοί του

συνόλου (-\infty,1)\cup (\frac{2}{\sqrt{3}},+\infty).


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3071
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Παραμετρική εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιουν 29, 2020 5:01 pm

Δεν νομίζω για a=0 να έχει δύο λύσεις.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 653
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Παραμετρική εξίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Ιουν 29, 2020 6:19 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Δευ Ιουν 29, 2020 5:01 pm
Δεν νομίζω για a=0 να έχει δύο λύσεις.
Σωστά.Για a=0 έχουμε σύνολο ορισμού το \mathbb{R} οπότε από αυτά που προέκυψαν πετάμε το a=0.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης