Παραμετρικά ακρότατα

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1142
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Παραμετρικά ακρότατα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Απρ 30, 2020 5:44 pm

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου a, για κάθε μία από τις οποίες η συνάρτηση

\displaystyle{f\left ( x\right) = x \left(1-a \right) +3 \left ( 1-2a\right) \sin \dfrac{x}{3} + \dfrac{3}{2} \sin \dfrac{2x}{3} + \pi a}

έχει το πολύ δύο ακρότατα στο διάστημα \displaystyle{\left ( \pi, 5 \pi \right )}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1894
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Παραμετρικά ακρότατα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Σάβ Μάιος 02, 2020 3:25 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Πέμ Απρ 30, 2020 5:44 pm
Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου a, για κάθε μία από τις οποίες η συνάρτηση

\displaystyle{f\left ( x\right) = x \left(1-a \right) +3 \left ( 1-2a\right) \sin \dfrac{x}{3} + \dfrac{3}{2} \sin \dfrac{2x}{3} + \pi a}

έχει το πολύ δύο ακρότατα στο διάστημα \displaystyle{\left ( \pi, 5 \pi \right )}.
Aς δούμε, λόγω Fermat κ.λπ. , πόσες ρίζες έχει η παράγωγος:

\displaystyle{f'\left ( x\right) = 1-a  + \left ( 1-2a\right) \cos \dfrac{x}{3} +\cos \dfrac{2x}{3}}

\displaystyle{= 1-a  + \left ( 1-2a\right) \cos \dfrac{x}{3} +2\cos^2 \dfrac{x}{3}-1}

\displaystyle{ =2\cos^2 \dfrac{x}{3}+ \left ( 1-2a\right) \cos \dfrac{x}{3}-a  = \left ( 2\cos \dfrac{x}{3}-1 \right)\left ( \cos \dfrac{x}{3}-a \right ) }

Τώρα, η εξίσωση 2\cos \dfrac{x}{3}-1=0 έχει ρίζες τα άκρα του διαστήματος \displaystyle{\left ( \pi, 5 \pi \right )} και δεν έχει ρίζα στο εσωτερικό του.

Η εξίσωση  \cos \dfrac{x}{3}-a \right=0 έχει το πολύ δύο ρίζες , γιατί η συνάρτηση  \cos \dfrac{x}{3} έχει ημιπερίοδο  3pi και παίρνει κάθε τιμή της το πολύ δύο φορές στο διάστημα \displaystyle{\left ( \pi, 5 \pi \right )},

Ώστε τελικά, η παράγωγος μηδενίζεται το πολύ δύο φορές στο \displaystyle{\left ( \pi, 5 \pi \right )}, οπότε η συνάρτηση έχει το πολύ δύο ακρότατα σε αυτό, για κάθε τιμή της παραμέτρου.

Ελπίζω να μη χάνω κάτι...


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3075
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Παραμετρικά ακρότατα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Μάιος 02, 2020 4:37 pm

rek2 έγραψε:
Σάβ Μάιος 02, 2020 3:25 pm

\displaystyle{ =2\cos^2 \dfrac{x}{3}+ \left ( 1-2a\right) \cos \dfrac{x}{3}-a  = \left ( 2\cos \dfrac{x}{3}-1 \right)\left ( \cos \dfrac{x}{3}-a \right ) }

Ελπίζω να μη χάνω κάτι...
Γεια σου Κώστα.

Χάνεις το παραπάνω και όλα αλλάζουν.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1894
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Παραμετρικά ακρότατα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Σάβ Μάιος 02, 2020 4:57 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Μάιος 02, 2020 4:37 pm
rek2 έγραψε:
Σάβ Μάιος 02, 2020 3:25 pm

\displaystyle{ =2\cos^2 \dfrac{x}{3}+ \left ( 1-2a\right) \cos \dfrac{x}{3}-a  = \left ( 2\cos \dfrac{x}{3}-1 \right)\left ( \cos \dfrac{x}{3}-a \right ) }

Ελπίζω να μη χάνω κάτι...

Χάνεις το παραπάνω και όλα αλλάζουν.
Γεια σου Σταύρο!

Εννοείς το πρόσημο στο α;;


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3075
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Παραμετρικά ακρότατα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Μάιος 02, 2020 9:22 pm

rek2 έγραψε:
Σάβ Μάιος 02, 2020 4:57 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Μάιος 02, 2020 4:37 pm
rek2 έγραψε:
Σάβ Μάιος 02, 2020 3:25 pm

\displaystyle{ =2\cos^2 \dfrac{x}{3}+ \left ( 1-2a\right) \cos \dfrac{x}{3}-a  = \left ( 2\cos \dfrac{x}{3}-1 \right)\left ( \cos \dfrac{x}{3}-a \right ) }

Ελπίζω να μη χάνω κάτι...

Χάνεις το παραπάνω και όλα αλλάζουν.
Γεια σου Σταύρο!

Εννοείς το πρόσημο στο α;;
Το σωστό είναι

\displaystyle{ =2\cos^2 \dfrac{x}{3}+ \left ( 1-2a\right) \cos \dfrac{x}{3}-a  = \left ( 2\cos \dfrac{x}{3}+1 \right)\left ( \cos \dfrac{x}{3}-a \right ) }


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης