Καμπύλες

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12544
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Καμπύλες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Απρ 16, 2020 12:38 pm

Καμπύλες.png
Καμπύλες.png (18.59 KiB) Προβλήθηκε 713 φορές
Το σημείο S της παραβολής με εξίσωση : f(x)=\dfrac{x^2}{2} , βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο , ενώ το σημείο T

της συνάρτησης g , της οποίας η γραφική παράσταση είναι ημικύκλιο ακτίνας R , βρίσκεται πάνω

στον ημιάξονα Ox . Οι εφαπτόμενες των δύο καμπυλών στα S,T , τέμνονται στο σημείο A(0,-2) .

Αν AS=AT=R , βρείτε τον τύπο της g και το σημείο P της C_{g} που βρίσκεται πλησιέστερα προς το A .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10455
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Καμπύλες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιούλ 22, 2020 8:04 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Απρ 16, 2020 12:38 pm
Καμπύλες.pngΤο σημείο S της παραβολής με εξίσωση : f(x)=\dfrac{x^2}{2} , βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο , ενώ το σημείο T

της συνάρτησης g , της οποίας η γραφική παράσταση είναι ημικύκλιο ακτίνας R , βρίσκεται πάνω

στον ημιάξονα Ox . Οι εφαπτόμενες των δύο καμπυλών στα S,T , τέμνονται στο σημείο A(0,-2) .

Αν AS=AT=R , βρείτε τον τύπο της g και το σημείο P της C_{g} που βρίσκεται πλησιέστερα προς το A .
Εκτός φακέλου.
Καμπύλες.Κ.png
Καμπύλες.Κ.png (19.87 KiB) Προβλήθηκε 291 φορές
\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
AS:y + 2 = \lambda x\\ 
\\ 
{C_f}:y = \dfrac{{{x^2}}}{2} 
\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{2} - \lambda x + 2=0 κι επειδή η AS εφάπτεται της C_f θα είναι

\displaystyle \Delta  = {\lambda ^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \lambda  =  \pm 2. Δεκτή είναι η τιμή -2 γιατί το S βρίσκεται στο 2ο τεταρτημόριο.

Άρα, \displaystyle {x^2} + 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow x =  - 2,y = 2 \Rightarrow \boxed{S(-2,2)} και \boxed{R=AT=AS=2\sqrt 5}

Εύκολα τώρα βρίσκουμε T(4,0). Το κέντρο του ημικυκλίου προσδιορίζεται αν φέρουμε από το T κάθετη

στην AT και πάρουμε τμήμα TK=2\sqrt 5. Είναι \displaystyle AK = R\sqrt 2  = 2\sqrt {10} και \displaystyle \theta  + \omega  = 45^\circ.

Επειδή όμως \displaystyle \tan\theta  = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \tan \omega  = \frac{1}{3} \Rightarrow AL = 2,LK = 6 \Rightarrow \boxed{K(6,-4)} Άρα το ημικύκλιο

έχει εξίσωση \displaystyle {(x - 6)^2} + {(y + 4)^2} = 20,y \ge  - 4 και \boxed{g(x) = \sqrt { - {x^2} + 12x - 16}  - 4}

P είναι το σημείο τομής της C_g με την AK απ' όπου μετά τις πράξεις παίρνουμε \boxed{P(6 - 3\sqrt 2 ,\sqrt 2  - 4)}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης