Κυβικές τιμές

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1223
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Κυβικές τιμές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Τετ Απρ 15, 2020 9:41 pm

Το κυβικό πολυώνυμο  f(x) με θετικό μεγιστοβάθμειο συντελεστή ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες

α) Ο αριθμός των διαφορετικών πραγματικών ριζών της εξίσωσης f(x)-x=0, είναι 2.

β) Ο αριθμός των διαφορετικών πραγματικών ριζών της εξίσωσης f(x)+x=0, είναι 2.

Αν f(0)=0 και f^{\prime}(1)=1, ποιά είναι η τιμή του f(3);


Θέμα 30 (από 30) των φετινών (2020) εισαγωγικών εξετάσεων της Κορέας, για την ομάδα τύπου Α (γενικής).



Λέξεις Κλειδιά:
harrisp
Δημοσιεύσεις: 547
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Κυβικές τιμές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Πέμ Απρ 16, 2020 12:50 am

Ωραίο! Αλήθεια πόση ώρα έχουν οι μαθητές να απαντήσουν και τα 30;

Δεν γράφω αναλυτική μαθηματική λύση αφού άλλωστε δεν είναι αυτό το ζητούμενο.

Από το (α) είναι f(x)-x=a(x-r)^2(x-p). Ακόμη λόγω του f(0)=0 πρέπει ένα απο τους r,p να είναι 0.

Τώρα πρέπει απο το (β) η a(x-r)^2(x-p)+2x=0 να έχει διπλή ριζα. Αν p=0 βλέπουμε ότι πρέπει η a(x-r)^2+2=0 να έχει ρίζα, άτοπο αφού a>0. Άρα r=0.

Οπότε πρέπει η ax^2(x-p)+2x=0 να έχει διπλή ρίζα δηλαδή η διακρίνουσα της ax(x-p)+2=0 να είναι 0. Από εδώ βγαίνει ap^2=8.

Ακόμη αφού f(x)=ax^2(x-p)+x και f'(1)=1 προκύπτει p=\dfrac {3}{2} άρα a=\dfrac {32}{9}.

Τελικά f(x)=\dfrac {32}{9} x^2(x-\dfrac {3}{2} )+x οπότε f(3)=51


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1223
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Κυβικές τιμές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Απρ 16, 2020 10:24 am

harrisp έγραψε:
Πέμ Απρ 16, 2020 12:50 am
Αλήθεια πόση ώρα έχουν οι μαθητές να απαντήσουν και τα 30;

Ο διαθέσιμος χρόνος είναι 100 λεπτά. Μερικές πληροφορίες για την εξέταση μπορούν να βρεθούν στη δημοσίευση εδώ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες