Ποικιλία κυρτότητας

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12136
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ποικιλία κυρτότητας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Μαρ 25, 2020 11:30 am

\bigstar Δίνεται η συνάρτηση : f(x)=\displaystyle \left\{\begin{matrix}
(lnx)^2\sqrt{x}, &   x>0\\ 
 0& x=0
\end{matrix}\right.

α) Δείξτε ότι η f είναι συνεχής .

β) Βρείτε τα ακρότατα της f και τα σημεία καμπής της C_{f} .

Η άσκηση είναι προσανατολισμένη κυρίως στο αλγεβρικό μέρος .



Λέξεις Κλειδιά:
Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 300
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Ποικιλία κυρτότητας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Τετ Μαρ 25, 2020 3:50 pm

Για τη συνέχεια, από την ανισότητα \ln x\le x-1, για x κοντά στο 0 έχουμε ότι \ln x<0 και x-1<0, επομένως:

\displaystyle{\ln^2x\ge(x-1)^2\Leftrightarrow(\ln^2x)\sqrt{x}\ge(x-1)^2\sqrt{x} \tag{1}}

Από την ίδια ανισότητα για \dfrac{1}{\sqrt{x}} στη θέση του x μας δίνει:

\displaystyle{\ln\frac{1}{\sqrt[6]{x}}\le\frac{1}{\sqrt[6]{x}}-1\Leftrightarrow-\ln\sqrt[6]{x}\leq\frac{1}{\sqrt[6]{x}}-1\Leftrightarrow\ln\sqrt[6]{x}\ge1-\frac{1}{\sqrt[6]{x}}\Leftrightarrow\frac{1}{6}\ln x\ge1-\frac{1}{\sqrt[6]{x}}}

Για χ κοντά στο 0 και τα δύο μέλη είναι αρνητικά, επομένως υψώνοντας στο τετράγωνο παίρνουμε:

\displaystyle{\frac{1}{36}\ln^2x\le\left(1-\frac{1}{\sqrt[6]{x}}\right)^2\Leftrightarrow\ln^2x\leq36\left(1-\frac{2}{\sqrt[6]{x}}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)\Leftrightarrow(\ln^2x)\sqrt{x}\leq36\sqrt{x}-72\sqrt[3]{x}+36\sqrt[6]{x}\tag{2}}

Από τις (1), (2) και το κριτήριο παρεμβολής έπεται ότι:

\displaystyle{\lim_{x\to0^+}f(x)=0=f(0).}


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης