Ελαχιστοποίηση εν μέσω ...

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11370
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ελαχιστοποίηση εν μέσω ...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Μαρ 25, 2020 9:07 am

Ελαχιστοποίηση  εν  μέσω.png
Ελαχιστοποίηση εν μέσω.png (9.04 KiB) Προβλήθηκε 156 φορές
\bigstar Το σταθερό σημείο S(k,m) , βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο . Ευθεία διερχόμενη από το S ,

τέμνει τους θετικούς ημιάξονες Ox , Oy , στα σημεία A , B αντίστοιχα .

α) Βρείτε συνάρτηση μιας μεταβλητής , η οποία να υπολογίζει το (OAB) , για κάθε θέση του A .

β) Υπολογίστε το ελάχιστο του (OAB) και στην περίπτωση αυτή υπολογίστε το μήκος του AB .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 242
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Ελαχιστοποίηση εν μέσω ...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Πέμ Μαρ 26, 2020 8:16 am

\large A(x_{A},0), S(k,m), \lambda_{AS}=\frac{m}{k-x_{A}}


\large \epsilon_{AB}: y-m=\frac{m}{k-x_{A}}(x-k)

\large x=0: y=m(1-\frac{k}{k-x_{A}}) \Rightarrow B(0,m(1-\frac{k}{k-x_{A}}))

A(x_{A},0), B(0,m(1-\frac{k}{k-x_{A}}))

Η συνάρτηση εμβαδού f(x) :

\large f(x)=\frac{1}{2} \left |det\left | \begin{matrix} x & 0\\ 0 & m(1-\frac{k}{k-x}) \end{matrix} \right |\right|=\frac{1}{2}\left | xm(1-\frac{k}{k-x}) \right |, k<x

\large f(x)=\frac{mx^2}{2(x-k)}, f'(x)=\frac{x^2m-2xmk}{2(x-k)^{2}}

\large f_{min}=f(2k)=2km

\large (AB)=2\sqrt{k^2+m^2}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11934
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ελαχιστοποίηση εν μέσω ...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Μαρ 26, 2020 8:45 am

Μου θύμισε μια γενικότερη άσκηση που είχε πέσει στις εισαγωγικές εξετάσεις για τα Πανεπιστήμια, κάπου την δεκαετία του 60. Την έχουμε δει πολλές φορές στο φόρουμ. Συγκεκριμένα, δίνεται γωνία (όχι κατ' ανάγκη ορθή) και σημείο εντός αυτής. Ζητείται η διατέμνουσα μέσω του σημείου η οποία ελαχιστοποιεί το τρίγωνο που εμφανίζεται:

Είναι απλό να αποδειχθεί ότι η ελάχιστη είναι η διαγώνιος παραλληλογράμμου που έχει το S ως σημείο τομής των διαγωνίων του. Με άλλα λόγια η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου είναι το συμμετρικό του O ως προς S, δηλαδή είναι το σημείο (2k, 2m). Τα υπόλοιπα είναι άμεσα. Π.χ. επιβεβαιώνεται η τιμή x_A=2k της λύσης του Ratio καθώς ότι το ελάχιστο εμβαδόν είναι 2km (το μισό του παραλληλογράμμου), και λοιπά.


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1452
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Ελαχιστοποίηση εν μέσω ...

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Μαρ 26, 2020 12:41 pm

Ελαφρώς διαφορετικά ....

Έστω \displaystyle A(t,0) , όπου \displaystyle t>k. Η ευθεία που διέρχεται από τα \displaystyle S,A έχει εξίσωση
\displaystyle y=\frac{-m}{t-k}(x-t)\Leftrightarrow y=\frac{m}{k-t}(x-t) οπότε για \displaystyle x=0 παίρνουμε \displaystyle y=\frac{-mt}{k-t}=\frac{mt}{t-k} άρα \displaystyle B\left( 0,\frac{mt}{t-k} \right) και το εμβαδόν του \displaystyle AOB είναι \displaystyle E(t)=\frac{1}{2}t\frac{mt}{t-k}=\frac{1}{2}\frac{m{{t}^{2}}}{t-k},\,\,\,t>k
Είναι : \displaystyle {E}'(t)=\frac{1}{2}\frac{mt(t-2k)}{{{(t-k)}^{2}}} , οπότε \displaystyle {E}'(t)\ge 0\Leftrightarrow t-2k\ge 0\Leftrightarrow t\ge 2k
Με ένα απλό πίνακα μονοτονίας βλέπουμε ότι η \displaystyle E παρουσιάζει ελάχιστο για \displaystyle t=2k
(οπότε το \displaystyle S είναι μέσον του \displaystyle AB ), ίσο με \displaystyle E(2k)=2mk
Το μήκος της \displaystyle AB είναι τότε \displaystyle \left( AB \right)=2(OS)=2\sqrt{{{k}^{2}}+{{m}^{2}}}


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4570
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ελαχιστοποίηση εν μέσω ...

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Μαρ 26, 2020 1:00 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Μαρ 26, 2020 8:45 am
Μου θύμισε μια γενικότερη άσκηση που είχε πέσει στις εισαγωγικές εξετάσεις για τα Πανεπιστήμια, κάπου την δεκαετία του 60. Την έχουμε δει πολλές φορές στο φόρουμ. Συγκεκριμένα, δίνεται γωνία (όχι κατ' ανάγκη ορθή) και σημείο εντός αυτής. Ζητείται η διατέμνουσα μέσω του σημείου η οποία ελαχιστοποιεί το τρίγωνο που εμφανίζεται:

Είναι απλό να αποδειχθεί ότι η ελάχιστη είναι η διαγώνιος παραλληλογράμμου που έχει το S ως σημείο τομής των διαγωνίων του. Με άλλα λόγια η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου είναι το συμμετρικό του O ως προς S, δηλαδή είναι το σημείο (2k, 2m). Τα υπόλοιπα είναι άμεσα. Π.χ. επιβεβαιώνεται η τιμή x_A=2k της λύσης του Ratio καθώς ότι το ελάχιστο εμβαδόν είναι 2km (το μισό του παραλληλογράμμου), και λοιπά.
Καλημέρα σε όλους. Τελευταία σχετική συζήτηση αρχές Ιανουαρίου 2020, ΕΔΩ. Οι παραπομπές που είναι εκεί, διατρέχουν όλη τη διαδρομή του :logo: (και μερικές κάνουν κύκλους).


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες