Μέγιστο εμβαδόν

#1

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle f(x)=\ln x,\,\,\,x\in (0,1)$ και την εφαπτομένη $\displaystyle (\varepsilon )$ της γ.π. στο σημείο της $\displaystyle A(c,f(c))$ .
Η $\displaystyle (\varepsilon )$ τέμνει τους άξονες $\displaystyle {x}'x\,\,,\,\,{y}'y$ στα $\displaystyle B,C$ , αντίστοιχα.
α) Έστω $\displaystyle E(c),\,\,0<c<1$ το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle BOC$ . Να βρείτε το μέγιστο του $\displaystyle E$
β) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle E(x)=x\ln x+\frac{3}{e},\,\,x\in (0,1)$

#2

exdx έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 24, 2020 11:28 pm
Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle f(x)=\ln x,\,\,\,x\in (0,1)$ και την εφαπτομένη $\displaystyle (\varepsilon )$ της γ.π. στο σημείο της $\displaystyle A(c,f(c))$ .
Η $\displaystyle (\varepsilon )$ τέμνει τους άξονες $\displaystyle {x}'x\,\,,\,\,{y}'y$ στα $\displaystyle B,C$ , αντίστοιχα.
α) Έστω $\displaystyle E(c),\,\,0<c<1$ το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle BOC$ . Να βρείτε το μέγιστο του $\displaystyle E$
β) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle E(x)=x\ln x+\frac{3}{e},\,\,x\in (0,1)$

...γειά σου Γιώργη με τα ωραία σου..

α) Είναι η $\displaystyle f(x)=\ln x,\,\,\,x\in (0,1)$ παραγωγίσιμη με ${f}'(x)=\frac{1}{x},x\in (0,1)$ και η εφαπτομένη

$\displaystyle (\varepsilon )$ στο $\displaystyle A(c,f(c))$ είναι $y-\ln c=\frac{1}{c}(x-c)\Leftrightarrow y=\frac{1}{c}x+\ln c-1$ τέμνει τον

{x}'x

στο $B(\beta ,\,0)$ και τον {y}'y

στο $C(0,\,\gamma )$ με

$0=\frac{1}{c}\beta +\ln c-1\Leftrightarrow \frac{1}{c}\beta =1-\ln c\Leftrightarrow \beta =c(1-\ln c)>0,\,\,0<c<1$ και

$\gamma =\ln c-1<0,\,\,0<c<1$ οπότε το εμβαδό του $\displaystyle BOC$ είναι

$E(c)=\frac{1}{2}(OB)(OC)=\frac{1}{2}|\beta ||\gamma |=-\frac{1}{2}c(1-\ln c)(\ln c-1)=\frac{1}{2}c{{(\ln c-1)}^{2}}$

Μελετούμε την συνάρτηση $g(x)=\frac{1}{2}x{{(\ln x-1)}^{2}},x\in (0,1)$ που είναι παραγωγίσιμη με

${g}'(x)=\frac{1}{2}{{(lnx-1)}^{2}}+x(lnx-1)\frac{1}{x}=\frac{1}{2}(lnx-1)(lnx+1),x\in (0,1)$ και και

${g}'(x)=0\Leftrightarrow \frac{1}{2}(lnx-1)(lnx+1)=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{e}$ και ${g}'(x)>0\Leftrightarrow x<\frac{1}{e}$

αφού lnx-1<0

άρα η

γνήσια αύξουσα στο $(0,\,\,\frac{1}{e}]$ και ${g}'(x)<0\Leftrightarrow x>\frac{1}{e}$ αφού lnx-1<0

άρα η

γνήσια φθίνουσα στο $[\frac{1}{e},\,1)$ άρα στο $x=\frac{1}{e}$ το εμβαδό παίρνει την μέγιστη τιμή με

${{E}_{\max }}=g(\frac{1}{e})=\frac{1}{2}\frac{1}{e}{{(\ln \frac{1}{e}-1)}^{2}}=\frac{2}{e}$

β) $E(x)=x\ln x+\frac{3}{e}\Leftrightarrow \left( x\ln x+\frac{1}{e} \right)+\left( \frac{2}{e}-E(x) \right)=0$ (1) και τώρα για την

$h(x)=x\ln x-\frac{1}{e},\,\,x\in (0,\,1]$ είναι παραγωγίσιμη με $h(x)=\ln x+1,\,\,x\in (0,\,1]$ και παρουσιάζει ελάχιστο στο

$x=\frac{1}{e}$ (..εύκολα) άρα ισχύει $h(x)\ge h(\frac{1}{e})=\frac{1}{e}\Leftrightarrow h(x)+\frac{1}{e}\ge 0$

με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν $x=\frac{1}{e}$ οπότε (1) ισοδύναμα όταν $x\ln x+\frac{1}{e}=0$ και

$\frac{2}{e}-E(x)=0$ αφού έχουμε άθροισμα μη αρνητικών αριθμών ίσο με το μηδέν επομένως λύση είναι το $x=\frac{1}{e}$ .

ΦΙλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Μέγιστο εμβαδόν

Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση