mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 20, 2020 11:25 am**

Για $\displaystyle k>\frac{1}{e}$ θεωρούμε την $\displaystyle f(x)=\frac{kx+\ln x}{kx-\ln x}$
α) Δείξτε ότι η $\displaystyle f$ ορίζεται για κάθε $\displaystyle x>0$
β) Να βρείτε όλες τις ασύμπτωτες της $\displaystyle {{C}_{f}}$
γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της $\displaystyle f$ και να δείξετε ότι $\displaystyle f(x)>1$ για $\displaystyle x>1$
δ) Να δείξετε ότι η $\displaystyle f$ μηδενίζεται ακριβώς μια φορά

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 20, 2020 9:16 pm**

$\displaystyle{f(x)=\frac{k+\frac{lnx}{x}}{k-\frac{lnx}{x}},x>}$

Eυκολα βρίσκουμε ότι η $\displaystyle{lnx/x}$ παρουσιάζει max to $\displaystyle{1/e}$ και συνεπως $\displaystyle{lnx/x\le1/e<k}$ αρα $\displaystyle{D_f=(0,+\infty)}$

$\displaystyle{ a_1=\lim_{x\to +\infty}f(x)/x=(1)0=0,b_1=\lim_{x\to +\iy}f(x)=1}$ αρα η $\displaystyle{y=1}$ είναι οριζόντια ασύμπτωτος

$\displaystyle{a_2=1/0^+(-1)=-\infty}$

$\displaystyle{\lim_{x\to 0^+}f(x)=-1,\lim_{x\to +\infty}f(x)=1,f'(x)=(1-lnx)h(x)}$ οπου $\displaystyle{h>0}$

$\displaystyle{f(D_f)=(-1,f(e)] , f(e)=ke+1/ke-1}$

Aρκεί $\displaystyle{kx+lnx>kx-lnx}$ 'η $\displaystyle{lnx>0}$ που ισχυει αφου $\displaystyle{x>1}$

Αρκεί η $\displaystyle{lnx+kx=g(x)}$ να εχει μια μόνον ρίζα οταν $\displaystyle{k>1/e}$

η $\displaystyle{g(x)}$ είναι γνησια αύξουσα kαι $\displaystyle{\lim_{x\to 0^+}g(x)=-\infty}$ αρα υπάρχει $\displaystyle{x_0<1:g(x_0)<0 ,g(1)>0}$ απο ΘΒ το ζητουμενο

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Μαρ 21, 2020 10:03 am**

Λίγο διαφορετικά το (α)
Η $y=\dfrac{1}{e}x$ είναι εφαπτομένη της $\sigma (x)=lnx$ , στο x_0=e

*
Κι επειδή η τελευταία είναι κοίλη, ισχύει $\dfrac{1}{e}x\geq lnx, \forall x>0$
Τελικά αφού $k>\dfrac{1}{e}$ ισχύει $kx>\dfrac{1}{e}x\geq lnx, \forall x>0$ που μας δίνει ότι ο παρονομαστής της

δεν μηδενίζεται, άρα $D_f=\left(0,\;+\infty\right)$

*Επειδή ίσως μας παρακολουθούν και μαθητές η ιδέα ήταν να βρούμε εφαπτόμενη της $\sigma$ που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Σχεδόν κλασικό ερώτημα.

mathematica.gr

Με παράμετρο

Με παράμετρο

Re: Με παράμετρο

Re: Με παράμετρο