Γνώμες για κάποιες λεπτομέρειες

[cgeo]

Αγαπητοί συνάδελφοι,

θα ήθελα να ζητήσω τη γνώμη σας για μερικά ζητήματα.

1. Στη μελέτη μονοτονίας και ακροτάτων προτείνετε να γράφονται τα θεωρήματα αναλυτικά ή απλά να βγαίνουν τα συμπεράσματα χωρίς μεγάλη ανάλυση π.χ. με χρήση πινάκων ;

2. Στο Θ. Fermat προτείνετε να γράφονται όλες οι προϋποθέσεις αναλυτικά ακόμα και σε απλές περιπτώσεις οπού είναι εμφανές ότι ισχύουν π.χ. το εσωτερικό σημείο όταν το πεδίο ορισμού ειναι το R;

2. Παρατήρησα ότι σε μερικά βιβλία για την εύρεση ριζών σε διαστήματα χωρίς σταθερή μονοτονία χρησιμοποιείται ο όρος 1-1 σε διάστημα το οποίο είναι μεν αρκετά βολικό αλλά δεν μου αρέσει καθώς δεν υπάρχει ορισμός 1-1 σε διάστημα αλλά σε όλο το πεδίο ορισμού.

Ευχαριστώ πολύ.

[abgd]

Προφανώς αναφέρεσαι στο πως πρέπει να απαντούν οι μαθητές κατά την επίλυση μιας άσκησης.

Όταν ζητάμε από μαθητή να λύσει μία άσκηση, σε κάποιο διαγώνισμα, θέλουμε να ελέγξουμε διάφορα πράγματα όπως:

• αν έχει κατανοήσει το θεωρητικό υπόβαθρο της άσκησης, δηλαδή τους ορισμούς και τα θεωρήματα με τη χρήση των οποίων αυτή θα λυθεί,

• αν έχει την ικανότητα - ευχέρεια να συνδυάζει και να αξιοποιεί σωστά τη θεωρία και τις προφανείς λογικές προεκτάσεις της,

• το επίπεδο της γνώσης των εργαλείων της μαθηματικής λογικής

Αν παράδειγμα ο μαθητής σε μια άσκηση, που ζητάει να εξεταστεί η μονοτονία και τα ακρότατα μιας συνάρτησης, μας απαντήσει ότι

• η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα για κάθε χ

καταλαβαίνουμε ότι δεν έχει κατανοήσει την έννοια της μονοτονίας, ή την έννοια της έκφρασης "για κάθε χ"

• η παράγωγος της συνάρτησης είναι μεγαλύτερη ή ίση του 0 οπότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα

καταλαβαίνουμε ότι δεν κάνει σωστή εφαρμογή του θεωρήματος.

Αν πάλι ζητηθεί από το μαθητή να αποδείξει τη μοναδικότητα της ρίζας μιας συνάρτησης, σε ένα γνήσιο υποσύνολο του πεδίου ορισμού, και μας πει ότι αυτό είναι αληθές αφού η συνάρτηση εκεί είναι 1-1, τότε δεν γνωρίζει τον ορισμό του 1-1.
Αν στο ίδιο ζητούμενο, μας απαντούσε ότι η συνάρτηση έχει μοναδική ρίζα αφού είναι γνησίως αύξουσα στο υποσύνολο αυτό, τότε ο μαθητής έχει κατανοήσει μια άμεση συνέπεια της μονοτονίας της συνάρτησης.

Προσοχή όμως και σ' αυτό: Αν από κάποια άσκηση απαιτείται η εφαρμογή για παράδειγμα του Θεωρήματος μέσης τιμής, και στην απάντηση του μαθητή δούμε ότι έχει βρει την παράγωγο της συνάρτησης, για κάθε χ του πεδίου ορισμού της και δεν αναφέρει ότι ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. , αυτό δεν σημαίνει σε καμιά περίπτωση ότι δεν κάνει σωστή εφαρμογή του θεωρήματος.

Σε κάθε περίπτωση ο εκπαιδευτικός θα πρέπει να κρίνει αν με την απάντηση του μαθητή, έχουν επιτευχθεί οι στόχοι που τέθηκαν από τα ζητούμενα του προβλήματος και αυτό θα πρέπει να το γνωρίζει τόσο ο εκπαιδευτικός όσο και ο μαθητής.

[Μάρκος Βασίλης]

Συμφωνώ με τον abgd και να προσθέσω ότι, εν γένει, είναι καλό όταν γράφουμε ένα μαθηματικό κείμενο, ειδικά όταν αυτό προορίζεται για εξετάσεις - άρα αξιολόγηση/βαθμολόγηση κ.λπ. - να είμαστε αρκετά σαφείς με αυτά που γράφουμε. Δηλαδή, αν πάμε να εφαρμόσουμε ένα θεώρημα, καλό είναι να το κάνουμε σαφές, αναφερόμενες/οι σε αυτό με το όνομά του ή/και αναφέροντας τις υποθέσεις του και το πώς αυτές ικανοποιούνται στην περίπτωσή μας. Προφανώς, αν μία υπόθεση ικανοποιείται τετριμμένα, δε χρειάζεται να το υπερ-αναλύσουμε, αλλά δε μας στοιχίζει κάτι το να το πούμε.

Να πω εδώ ότι η έκφραση στα μαθηματικά παίζει τεράστιο ρόλο, οπότε, προσοχή στο πώς γράφουμε ό,τι γράφουμε. Όπως ανέλυσε και ο abgd, αν πεις «η συνάρτηση έχει μοναδική ρίζα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της γιατί είναι "1-1" σε αυτό», τότε μπορεί να έχεις πιάσει την ιδέα αλλά τη διατυπώνεις με εσφαλμένη ορολογία. Αντιθέτως, αν πεις είτε αυτό που λέει ο abgd είτε κάτι του τύπου «... ο περιορισμός της συνάρτησης σε αυτό το διάστημα είναι "1-1"» ή «... η συνάρτηση είναι τοπικά αντιστρέψιμη σε εκείνο το διάστημα» - πιο προχωρημένες εκφράσεις, βέβαια - τότε είναι καθ' όλα σωστή η απάντησή σου.

[Christos.N]

2. Παρατήρησα ότι σε μερικά βιβλία για την εύρεση ριζών σε διαστήματα χωρίς σταθερή μονοτονία χρησιμοποιείται ο όρος 1-1 σε διάστημα το οποίο είναι μεν αρκετά βολικό αλλά δεν μου αρέσει καθώς δεν υπάρχει ορισμός 1-1 σε διάστημα αλλά σε όλο το πεδίο ορισμού.

Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα τότε είναι και αμφιμονοσήμαντη σε αυτό. Το βιβλίο ας μην το λέει "φωναχτά" είναι όμως τόσο προφανές που δεν χρειάζεται να "διυλίζουμε των κώνωπα". Από την εμπειρία μου ποτέ δεν έχει τεθεί ζήτημα σε εξεταστικό κέντρο και εκτιμώ ότι ούτε πρόκειται ποτέ να γίνει κάτι τέτοιο, ευτυχώς διορθώνουμε-νε μαθηματικοί.

Ας δούμε και αυτό το παράδειγμα που εξετάζει το βιβλίο λύσεων

DeepinScreenshot_select-area_20200224150033.png (67.32 KiB) Προβλήθηκε 736 φορές

Υπάρχει πουθενά στο βιβλίο ότι αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη τότε αν έχει ρίζα είναι μοναδική ;

1. Στη μελέτη μονοτονίας και ακροτάτων προτείνετε να γράφονται τα θεωρήματα αναλυτικά ή απλά να βγαίνουν τα συμπεράσματα χωρίς μεγάλη ανάλυση π.χ. με χρήση πινάκων ;

Ας δούμε αυτήν την λύση του σχολικού βιβλίου

DeepinScreenshot_select-area_20200224145235.png (36.02 KiB) Προβλήθηκε 736 φορές

και ρωτάω εγώ τώρα, τι βαθμολογία παίρνει; (δεν αναφέρει την συνέχεια; ή το θεωρεί προφανές αφου λέει ότι είναι παραγωγίσιμη; δεν αποδεικνύει το πρόσημο της παραγώγου αλλά ειναι προφανές αφού αποτελεί αντικείμενο γνώσης προηγουμενης τάξης; ) Πάντως βασιλικότεροι του βασιλέως δεν μπορούμε να είμαστε και σε αυτό καταλήγω.

Και τέλος

2. Στο Θ. Fermat προτείνετε να γράφονται όλες οι προϋποθέσεις αναλυτικά ακόμα και σε απλές περιπτώσεις οπού είναι εμφανές ότι ισχύουν π.χ. το εσωτερικό σημείο όταν το πεδίο ορισμού ειναι το R;

Ας δούμε πως διαπραγματεύονται οι συγγραφείς το πρόβλημα όταν το πεδίο ορισμού ειναι το R.

DeepinScreenshot_select-area_20200224151232.png (32.47 KiB) Προβλήθηκε 736 φορές

Αφήνει σε κάνέναν το περιθώριο να αμφισβητήσει κάτι;

[abgd]

Χρήστο συμφωνώ με αυτά που γράφεις καθώς και με αυτό...

Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα τότε είναι και αμφιμονοσήμαντη σε αυτό. Το βιβλίο ας μην το λέει "φωναχτά" είναι όμως τόσο προφανές που δεν χρειάζεται να "διυλίζουμε των κώνωπα". Από την εμπειρία μου ποτέ δεν έχει τεθεί ζήτημα σε εξεταστικό κέντρο και εκτιμώ ότι ούτε πρόκειται ποτέ να γίνει κάτι τέτοιο, ευτυχώς διορθώνουμε-νε μαθηματικοί.

Όμως, το έγραψα και πιο πάνω, αν ο μαθητής γράψει ότι: "η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα , άρα η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα αυτό", τότε έχει απαντήσει σωστά.
Αν όμως ο μαθητής γράψει ότι η συνάρτηση "η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα , άρα είναι 1-1 οπότε η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα αυτό" , τότε υπάρχουν δύο διαφορετικές ερμηνείες αυτής της απάντησης:

• ο μαθητής μας δεν έχει ξεκαθαρίσει τι σημαίνει 1-1 συνάρτηση,

• ο μαθητής εννοεί ότι, αφού η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα, πρέπει το πολύ ένα χ να αντιστοιχείται, μέσω της f, σε κάποιον αριθμό α

Εσύ κρίνεις ότι ο μαθηματικός που διορθώνει πρέπει να δεχθεί την δεύτερη ερμηνεία και να θεωρήσει ορθά διατυπωμένη την απάντηση του μαθητή.
Εμένα όμως, παρότι είμαι μαθηματικός και διορθώνω γραπτά μαθητών, θα μου επιτρέψεις να θεωρήσω ότι η απάντηση του μαθητή δεν είναι ορθά διατυπωμένη.
Μην ξεχνάς ότι με ένα τέτοιο θέμα εξετάζω και το κατά πόσον ο μαθητής έχει εμβαθύνει στις έννοιες της μονοτονίας και του 1-1. Μία τέτοια διατύπωση θα πρέπει να την παραβλέψω ως ασήμαντη λεπτομέρεια;
Μπορεί και να το κάνω σε κάποιες περιπτώσεις - συνυπολογίζοντας την γενικότερη εικόνα του γραπτού!

Κώστας Σ.