Δύσκολη ανισότητα

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Δύσκολη ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Φεβ 05, 2020 12:19 pm

Δείξτε ότι για κάθε x>0 , x\neq 1 , είναι : \dfrac{xlnx}{x-1}<\sqrt{x}



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3371
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Δύσκολη ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Φεβ 05, 2020 2:36 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Φεβ 05, 2020 12:19 pm
Δείξτε ότι για κάθε x>0 , x\neq 1 , είναι : \dfrac{xlnx}{x-1}<\sqrt{x}
Η απόδειξη τέτοιων ανισοτήτων γίνεται εύκολη αν θεωρήσουμε την κατάλληλη συνάρτηση.
Επειδή ο \ln είναι κακός αλλά έχει καλή παράγωγο
θεωρούμε την
f:(0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}
με
f(x)=\ln x-(x-1)x^{-\frac{1}{2}}
η παράγωγος της είναι
f'(x)=-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}(1-x^{\frac{1}{2}})^2< 0,x\neq 1
και όλα τώρα είναι εύκολα από την μονοτονία.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 741
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Δύσκολη ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τετ Φεβ 05, 2020 10:02 pm

Ολοκληρώνουμε την \ln t\leq t-1 στο [1,x] ή [x,1] αναλόγως με το αν x>1 ή

x<1 αντίστοιχα. Θέτουμε όπου x το \sqrt{x} και παίρνουμε τη ζητούμενη


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης