Εύρεση τύπου

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Aladdin
Δημοσιεύσεις: 168
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 05, 2010 2:25 pm

Εύρεση τύπου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Aladdin » Παρ Ιαν 10, 2020 11:34 pm

Αν για τη συνάρτηση \displaystyle f ισχύουν \displaystyle 8f'(x) = f(x)\left( {{f^2}(x) - 4} \right),x \in R και \displaystyle f(0) = \sqrt 2 να δείξετε ότι \displaystyle f(x) = \frac{2}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}
τελευταία επεξεργασία από Aladdin σε Σάβ Ιαν 11, 2020 1:24 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 592
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Εύρεση τύπου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Ιαν 11, 2020 12:16 am

Aladdin έγραψε:
Παρ Ιαν 10, 2020 11:34 pm
Αν για τη συνάρτηση \displaystyle f ισχύουν \displaystyle 8f'(x) = f(x)\left( {{f^2}(x) - 4} \right),x \in R και \displaystyle f(0) = 1 να δείξετε ότι \displaystyle f(x) = \frac{2}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}
Είμαστε σίγουροι ότι ανήκει σε αυτό τον φάκελο;

Επιπλέον δεν επαληθεύει την αρχική συνθήκη.


Aladdin
Δημοσιεύσεις: 168
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 05, 2010 2:25 pm

Re: Εύρεση τύπου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Aladdin » Σάβ Ιαν 11, 2020 1:25 am

Διόρθωσα την αρχική τιμή.


KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1520
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Εύρεση τύπου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Σάβ Ιαν 11, 2020 1:58 am

Aladdin έγραψε:
Παρ Ιαν 10, 2020 11:34 pm
Αν για τη συνάρτηση \displaystyle f ισχύουν \displaystyle 8f'(x) = f(x)\left( {{f^2}(x) - 4} \right),x \in R και \displaystyle f(0) = \sqrt 2 να δείξετε ότι \displaystyle f(x) = \frac{2}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}

...μια απάντηση με ένα επιπλέον δεδομένο...ο δημιουργός έχει το λόγο...

Με την προϋπόθεση f(x)\ne 0,\,\,\,x\in R θεωρώντας την συνάρτηση g(x)=\frac{4}{{{f}^{2}}(x)} είναι

{g}'(x)=-\frac{8f(x){f}'(x)}{{{f}^{4}}(x)} και από την αρχική έχουμε ισοδύναμα

8{f}'(x)f(x)={{f}^{2}}(x)\left( {{f}^{2}}(x)-4 \right)\Leftrightarrow \frac{8{f}'(x)f(x)}{{{f}^{4}}(x)}=1-\frac{4}{{{f}^{2}}(x)}

οπότε και

-{g}'(x)=1-g(x)\Leftrightarrow {g}'(x)-g(x)=-1\Leftrightarrow {{e}^{-x}}{g}'(x)-{{e}^{-x}}g(x)=-{{e}^{-x}}\Leftrightarrow

({{e}^{-x}}g(x){)}'=({{e}^{-x}}{)}'\Leftrightarrow {{e}^{-x}}g(x)={{e}^{-x}}+c\Leftrightarrow g(x)=1+c{{e}^{x}} και επειδή

g(0)=\frac{4}{{{f}^{2}}(0)}=2 προκύπτει ότι c=1 επομένως g(x)=1+{{e}^{x}} άρα \frac{4}{{{f}^{2}}(x)}=1+{{e}^{x}}

και εύκολα…. \displaystyle f(x) = \frac{2}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 592
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Εύρεση τύπου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Σάβ Ιαν 11, 2020 2:21 am

Έχετε λύση εντός φακέλου; Δεν μου απαντήσατε...

Τοπικά, κοντά στο 0, η συνάρτηση είναι αυτή:

4\cdot 2{f}'(x)=f(x)\left ( f^2(x)-4 \right )\Rightarrow

4\cdot 2f(x){f}'(x)=f^2(x)\left ( f^2(x)-4 \right )\Rightarrow

4\left ( f^2(x) \right )'=f^2(x)\left ( f^2(x)-4 \right )\Rightarrow

 4g'(x)=g(x)\left ( g(x)-4 \right )\Rightarrow

4\dfrac{{g}'(x)}{g(x)\left ( g(x)-4 \right )}=1\Rightarrow

4\dfrac{{g}'(x)}{g(x)\left ( 4-g(x) \right )}=-1\Rightarrow

-\left ( \ln \left ( 4-g(x) \right )-\ln g(x) \right )'=-1

\ln  \dfrac{4-g(x)}{g(x)}=x+c

\dfrac{4-g(x)}{g(x)}=e^{x+c} \Rightarrow

\left ( 1+e^{x+c} \right )g(x)=4\Rightarrow

g(x)=\dfrac{4}{1+e^{x+c}}.

Για x=0 παίρνουμε c=0 και επομένως g(x)=\dfrac{4}{1+e^x}.

Οπότε λαμβάνοντας υπόψιν την αρχική συνθήκη για μια ακόμα φορά και τη συνέχεια καταλήγουμε στην

f(x)=\dfrac{2}{\sqrt{1+e^x}}.


panagiotis iliopoulos
Δημοσιεύσεις: 104
Εγγραφή: Τετ Μαρ 07, 2018 10:26 pm

Re: Εύρεση τύπου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panagiotis iliopoulos » Σάβ Ιαν 11, 2020 9:07 am

Βέβαια μπορεί να λυθεί και με τη μέθοδο του αορίστου ολοκληρώματος , κάτι το οποίο είναι εκτός σχολικής ύλης. Για παράδειγμα στη δεδομένη


περίπτωση έχουμε θέτοντας y=f(x):

\int \frac{dy}{y(y-2)(y+2)}=\int \frac{1}{8}dx.

Μετά όμως πρέπει να πάρουμε περιπτώσεις για τα απόλυτα μέσα στο λογάριθμο και βρίσκουμε δύο συναρτήσεις εκ των οποίων η μία απορρίπτεται Έτσι


προκύπτει ο ζητούμενος τύπος.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2782
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εύρεση τύπου

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Ιαν 11, 2020 9:28 am

KAKABASBASILEIOS έγραψε:
Σάβ Ιαν 11, 2020 1:58 am
Aladdin έγραψε:
Παρ Ιαν 10, 2020 11:34 pm
Αν για τη συνάρτηση \displaystyle f ισχύουν \displaystyle 8f'(x) = f(x)\left( {{f^2}(x) - 4} \right),x \in R και \displaystyle f(0) = \sqrt 2 να δείξετε ότι \displaystyle f(x) = \frac{2}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}

...μια απάντηση με ένα επιπλέον δεδομένο...ο δημιουργός έχει το λόγο...

Με την προϋπόθεση f(x)\ne 0,\,\,\,x\in R θεωρώντας την συνάρτηση g(x)=\frac{4}{{{f}^{2}}(x)} είναι

{g}'(x)=-\frac{8f(x){f}'(x)}{{{f}^{4}}(x)} και από την αρχική έχουμε ισοδύναμα

8{f}'(x)f(x)={{f}^{2}}(x)\left( {{f}^{2}}(x)-4 \right)\Leftrightarrow \frac{8{f}'(x)f(x)}{{{f}^{4}}(x)}=1-\frac{4}{{{f}^{2}}(x)}

οπότε και

-{g}'(x)=1-g(x)\Leftrightarrow {g}'(x)-g(x)=-1\Leftrightarrow {{e}^{-x}}{g}'(x)-{{e}^{-x}}g(x)=-{{e}^{-x}}\Leftrightarrow

({{e}^{-x}}g(x){)}'=({{e}^{-x}}{)}'\Leftrightarrow {{e}^{-x}}g(x)={{e}^{-x}}+c\Leftrightarrow g(x)=1+c{{e}^{x}} και επειδή

g(0)=\frac{4}{{{f}^{2}}(0)}=2 προκύπτει ότι c=1 επομένως g(x)=1+{{e}^{x}} άρα \frac{4}{{{f}^{2}}(x)}=1+{{e}^{x}}

και εύκολα…. \displaystyle f(x) = \frac{2}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
KAKABASBASILEIOS έγραψε:
Σάβ Ιαν 11, 2020 1:58 am
Με την προϋπόθεση f(x)\ne 0,\,\,\,x\in R
Δεν είναι απαραίτητο να δοθεί.
Παίρνοντας συνάρτηση ώστε

\displaystyle g'(x)=f^{2}(x)-4

εχουμε διαδοχικά

\displaystyle f'(x)-f(x)g'(x)=0\Rightarrow e^{-g(x)}f'(x)-e^{-g(x)}f(x)g'(x)=0
\Rightarrow (e^{-g(x)}f(x))'=0\Rightarrow f(x)=ce^{g(x)}

Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να δείξουμε ότι

f(x)\neq 2,-2,x\in \mathbb{R}


Aladdin
Δημοσιεύσεις: 168
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 05, 2010 2:25 pm

Re: Εύρεση τύπου

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Aladdin » Σάβ Ιαν 11, 2020 11:28 am

Δεν είχα λύση στο φάκελο, και η εκφώνηση δεν έδινε περιορισμό.. Ευχαριστώ για τις λύσεις


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης