Παραβολικές δυσκολίες

KARKAR · #1

: Παραβολικές δυσκολίες.png (8.86 KiB) Προβλήθηκε 404 φορές

Έστω

. Σημείο

κινείται στον "άνω" κλάδο της παραβολής y^2=2px

, της οποίας

την εστία ονομάσαμε

. Βρείτε :

α) Το πλησιέστερο στο

σημείο

, του

, για το οποίο ισχύει $AO\leq AS$ για κάθε

.

β) Το συνημίτονο της μέγιστης γωνίας $\widehat{ASE}=\theta$ . ( Θεωρήστε ότι : a=p

)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 29, 2019 9:21 am
Παραβολικές δυσκολίες.pngΈστω . Σημείο κινείται στον "άνω" κλάδο της παραβολής , της οποίας

την εστία ονομάσαμε . Βρείτε :

α) Το πλησιέστερο στο σημείο , του , για το οποίο ισχύει $AO\leq AS$ για κάθε .

β) Το συνημίτονο της μέγιστης γωνίας $\widehat{ASE}=\theta$ . ( Θεωρήστε ότι : )

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Πρέπει να βρείτε : $\cos\theta=\dfrac{7\sqrt{10}}{25}$

: Παραβολικά.png (13.74 KiB) Προβλήθηκε 385 φορές

α) $\displaystyle AO \le AS \Leftrightarrow {a^2} \le {(x - a)^2} + {y^2} \Leftrightarrow a \le \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{2x}} \Leftrightarrow$ $\boxed{a \le \frac{x}{2} + p}$

β) $\displaystyle \cos \theta = \frac{{\overrightarrow {SE} \cdot \overrightarrow {SA'} }}{{\left| {\overrightarrow {SE} } \right|\left| {\overrightarrow {SA'} } \right|}} = \frac{{\left( {\frac{p}{2} - x, - y} \right)\left( {p - x, - y} \right)}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{p}{2} - x} \right)}^2} + {y^2}} \sqrt {{{(p - x)}^2} + {y^2}} }} = ... = \frac{{2{x^2} + px + {p^2}}}{{(2x + p)\sqrt {{p^2} + {x^2}} }}$

Η γωνία $\theta$ μεγιστοποιείται όταν ελαχιστοποιείται το $\cos \theta,$ δηλαδή η συνάρτηση $\displaystyle f(x) = \frac{{2{x^2} + px + {p^2}}}{{(2x + p)\sqrt {{p^2} + {x^2}} }}$

$\displaystyle f'(x) = \frac{{{p^3}(3x - p)}}{{{{(2x + p)}^2}\sqrt {{{({p^2} + {x^2})}^3}} }}.$ Άρα η

παρουσιάζει για $\boxed{x=\frac{p}{3}}$ ελάχιστη τιμή (και συνεπώς η γωνία $\theta$

μεγιστοποιείται) όταν $\boxed{\cos \theta = \frac{{7\sqrt {10} }}{{25}}}$

Παραβολικές δυσκολίες

Παραβολικές δυσκολίες

Re: Παραβολικές δυσκολίες

Μέλη σε σύνδεση