Παραβολικές δυσκολίες

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11704
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Παραβολικές δυσκολίες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Δεκ 29, 2019 9:21 am

Παραβολικές δυσκολίες.png
Παραβολικές δυσκολίες.png (8.86 KiB) Προβλήθηκε 150 φορές
Έστω p>0 . Σημείο S κινείται στον "άνω" κλάδο της παραβολής y^2=2px , της οποίας

την εστία ονομάσαμε E . Βρείτε :

α) Το πλησιέστερο στο O σημείο A , του Ox , για το οποίο ισχύει AO\leq AS για κάθε S .

β) Το συνημίτονο της μέγιστης γωνίας \widehat{ASE}=\theta . ( Θεωρήστε ότι : a=p )

Πρέπει να βρείτε : \cos\theta=\dfrac{7\sqrt{10}}{25}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9563
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παραβολικές δυσκολίες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Δεκ 29, 2019 11:55 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Δεκ 29, 2019 9:21 am
Παραβολικές δυσκολίες.pngΈστω p>0 . Σημείο S κινείται στον "άνω" κλάδο της παραβολής y^2=2px , της οποίας

την εστία ονομάσαμε E . Βρείτε :

α) Το πλησιέστερο στο O σημείο A , του Ox , για το οποίο ισχύει AO\leq AS για κάθε S .

β) Το συνημίτονο της μέγιστης γωνίας \widehat{ASE}=\theta . ( Θεωρήστε ότι : a=p )

Πρέπει να βρείτε : \cos\theta=\dfrac{7\sqrt{10}}{25}
Παραβολικά.png
Παραβολικά.png (13.74 KiB) Προβλήθηκε 131 φορές
α) \displaystyle AO \le AS \Leftrightarrow {a^2} \le {(x - a)^2} + {y^2} \Leftrightarrow a \le \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{2x}} \Leftrightarrow \boxed{a \le \frac{x}{2} + p}

β) \displaystyle \cos \theta  = \frac{{\overrightarrow {SE}  \cdot \overrightarrow {SA'} }}{{\left| {\overrightarrow {SE} } \right|\left| {\overrightarrow {SA'} } \right|}} = \frac{{\left( {\frac{p}{2} - x, - y} \right)\left( {p - x, - y} \right)}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{p}{2} - x} \right)}^2} + {y^2}} \sqrt {{{(p - x)}^2} + {y^2}} }} = ... = \frac{{2{x^2} + px + {p^2}}}{{(2x + p)\sqrt {{p^2} + {x^2}} }}

Η γωνία \theta μεγιστοποιείται όταν ελαχιστοποιείται το \cos \theta, δηλαδή η συνάρτηση \displaystyle f(x) = \frac{{2{x^2} + px + {p^2}}}{{(2x + p)\sqrt {{p^2} + {x^2}} }}

\displaystyle f'(x) = \frac{{{p^3}(3x - p)}}{{{{(2x + p)}^2}\sqrt {{{({p^2} + {x^2})}^3}} }}. Άρα η f παρουσιάζει για \boxed{x=\frac{p}{3}} ελάχιστη τιμή (και συνεπώς η γωνία \theta

μεγιστοποιείται) όταν \boxed{\cos \theta  = \frac{{7\sqrt {10} }}{{25}}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης