Ζεύγη

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11704
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ζεύγη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Δεκ 27, 2019 9:43 am

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη πραγματικών (x,y) , για τα οποία ισχύει : \dfrac{ln(y+2)}{e^x}=\dfrac{y+2}{x+2}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1843
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Ζεύγη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Παρ Δεκ 27, 2019 12:41 pm

Μελετώντας τις συναρτήσεις f(y)=\frac{ln(y+2)}{y+2},~y>-2 και g(x)=\frac{e^x}{x+2},~x\neq-2 μπορούμε εύκολα να βρούμε ότι:

g\left((-\infty,-2)\right)=(-\infty,0)

g\left((-2,+\infty)\right)=[\frac{1}{e},+\infty)

f\left((-2,+\infty)\right)=(-\infty,\frac{1}{e}] και ειδικά f\left((-2,-1)\right)=(-\infty,0)

Από τα παραπάνω εξάγουμε το συμπέρασμα ότι υπάρχουν άπειρα ζεύγη (x,y)\in (-\infty,-2)\times (-2,-1) που επαληθεύουν την εξίσωση και το μοναχικό ζεύγος (x,y)=(-1,e-2) σε κάθε άλλον συνδυασμό διαστημάτων.
DeepinScreenshot_select-area_20191227124059.png
DeepinScreenshot_select-area_20191227124059.png (8.59 KiB) Προβλήθηκε 130 φορές


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2236
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ζεύγη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Παρ Δεκ 27, 2019 1:19 pm

\displaystyle{\frac{e^x}{x+2}=\frac{ln(y+2)}{y+2} ,x\ne -2  y>-2}
ευκολα βρίσκουμε τα σύνολα τιμων των \displaystyle{f(x),g(y)} που είναι αντιστοίχως τα \displaystyle{[1/e,+\infty),(-\infty,e-2]}
Θα πρέπει \displaystyle{ g(y)\ge 1/e }
\displaystyle{\LeftRigtarrow ln(y+2)\ge (y+2)/e}
ή \displaystyle{lnt\ge t/e,t=y+2} ή \displaystyle{ln(eu)\ge u,t=ue ή \displaystyle{lnu\ge u-1}}
είναι γνωστό ομως ότι\displaystyle{lnu\le u-1} και η ισότητα ισχύει ,μονο }u=1,t= y=e-2\displaystyle{
To x θα βρεθεί απο την \displaystyle{e^x/(x+2)=1/e} μ ε μοναδική λύση το \displaystyle{x=-1}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης