Σύνολο τιμών συνεχούς συνάρτησης

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11704
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Σύνολο τιμών συνεχούς συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Δεκ 24, 2019 8:37 am

Δίνεται η συνάρτηση : f(x)=\left\{\begin{matrix}
\dfrac{(x+2)ln(x+1)}{x} &  , -1<x\neq0 \\
\\ 
 k& ,x=0
\end{matrix}\right.

\bigstar Βρείτε το σύνολο τιμών της , αν είναι γνωστό ότι είναι συνεχής .



Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1543
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Σύνολο τιμών συνεχούς συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τρί Δεκ 24, 2019 9:46 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Δεκ 24, 2019 8:37 am
Δίνεται η συνάρτηση : f(x)=\left\{\begin{matrix} 
\dfrac{(x+2)ln(x+1)}{x} &  , -1<x\neq0 \\ 
\\  
 k& ,x=0 
\end{matrix}\right.

\bigstar Βρείτε το σύνολο τιμών της , αν είναι γνωστό ότι είναι συνεχής .
...Χρόνια Πολλά :logo: ...

Επειδή είναι συνεχής, θα είναι συνεχής και στο x=0 άρα \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(0)=k ή

\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+2)ln(x+1)}{x}=k απ όπου προκύπτει ότι 2=k γιατί

\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{ln(x+1)}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{ln(x+1)}{(x+1)-1}=1 αφού

(\ln (x){)}'=\frac{1}{x},\,\,x>0

Τώρα είναι παραγωγίσιμη στο (-1,\,0)\cup (0,\,\,+\infty ) με {f}'(x)=...=\frac{\frac{{{x}^{2}}+2x}{x+1}-2ln(x+1)}{{{x}^{2}}}

και για τον αριθμητή θεωρούμε την g(x)=\frac{{{x}^{2}}+2x}{x+1}-2ln(x+1),\,\,x\in (-1\,\,+\infty ) που είναι παραγωγίσιμη με

{g}'(x)=...=\frac{{{x}^{2}}}{{{(x+1)}^{2}}}>0,\,\,\,x\ne 0 που σημαίνει ότι δεν παρουσιάζει ακρότατο στο x=0 και

είναι γνήσια αύξουσα στο (-1,\,+\infty ) άρα

όταν x<0\Rightarrow g(x)<g(0)=0 και η {f}'(x)=\frac{g(x)}{{{x}^{2}}}<0 δηλαδή η f γνήσια φθίνουσα στο (-1,\,0] και όταν

x>0\Rightarrow g(x)>g(0)=0 και η {f}'(x)=\frac{g(x)}{{{x}^{2}}}>0 δηλαδή η f γνήσια αύξουσα στο [0,\,\,+\infty )

επομένως η f έχει ελάχιστο το f(0)=2

Ακόμη επειδή \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+2)ln(x+1)}{x}=+\infty αφού

\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+2)}{x}=-1 και \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,ln(x+1)=-\infty

το σύνολο τιμών της f είναι το [2,\,\,+\infty )

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης