Συμβολισμός του Leibniz

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 108
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Συμβολισμός του Leibniz

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Σάβ Δεκ 14, 2019 12:18 am

Αρκετές φορές χρησιμοποιώ τον συμβολισμό του Leibniz στην Γ' λυκείου για να εξηγήσω καλύτερα τον κανόνα της αλυσίδας και να κάνω πιο απλή την εφαρμογή του στην παραγώγιση σύνθετης συνάρτησης.

Έπειτα από μία σύντομη αναζήτησή μου στο διαδίκτυο και, ειδικότερα, τις ιστοσελίδες που είναι συναφείς με τη διδακτική των μαθηματικών (π.χ. εδώ), κατέληξα στο συμπέρασμα ότι υπάρχει μία ευρύτερη διχογνωμία ως προς το κατά πόσον ωφελεί ή όχι ο εν λόγω συμβολισμός τους μαθητές και τις μαθήτριες της δευτεροβάθμιας.

Αλλά, επειδή όλα αυτά δεν είναι απαραίτητο ότι ισχύουν και στην ελληνική πραγματικότητα αυτούσια, θα ήθελα και την δική σας άποψη, όσων έχετε σχετική εμπειρία. Είναι βοηθητικό; Και αν ναι, μέχρι ποιον βαθμό; Τον χρησιμοποιείτε τακτικά; Μόνο στον κανόνα της αλυσίδας ή και γενικά, σε άλλες περιστάσεις; (φαντάζομαι όχι σε παραγώγους ανώτερης τάξης).


\textcolor{blue}{\forall after-maths}

Λέξεις Κλειδιά:
stranger
Δημοσιεύσεις: 87
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: Συμβολισμός του Leibniz

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Σάβ Δεκ 14, 2019 4:41 am

Κατά τη γνώμη μου ο συμβολισμός του Leibnitz υπερέχει απο τον συνήθη συμβολισμό της παραγώγου που χρησιμοποιείται περισσότερο.
Ο λόγος είναι ότι με τον συμβολισμό του Leibnitz είναι σαφές το ως προς ποια μεταβλητή παραγωγίζεις,πράγμα που δεν είναι τόσο σαφές με τον συνήθη συμβολισμό της παραγώγου. Όπως και στην ολοκλήρωση έχει επικρατήσει το dx για να είναι σαφές ως προς ποιά μεταβλητή ολοκληρώνεις.
Ακόμα και στην ερευνά μου, χρησιμοποιώ τον συμβολισμό του Leibnitz όταν ασχολούμαι με παραγώγους.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός
Nothing real can be threatened, nothing unreal exists.
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2782
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συμβολισμός του Leibniz

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Δεκ 14, 2019 3:56 pm

Δεν έχω δει σε βιβλίο Ανάλυσης να χρησιμοποιείται ο συμβολισμός του Leibniz.
Και μιλάω για βιβλία όχι τωρινά αλλά του 30.
Κάτι θα ξέρουν όλοι αυτοί περισσότερο από εμάς.
Αντίθετα σε βιβλία Ανάλυσης του 30 έχω δει αντί \cup να βάζουν +
αντί \cap να βάζουν ..
Προφανώς λοιπόν ο συμβολισμός αυτός από την Μαθηματική κοινότητα
έχει απορριφθεί σαν άστοχος.
Οι Φυσικοί η οι Μηχανικοί τον χρησιμοποιούν.
Υπάρχουν προβλήματα στον συμβολισμό αλλά δεν είμαι διαθέσιμος να ανοίξω συζήτηση
για κάτι που κάποιοι πολύ πολύ παραπάνω από εμένα το έχουν απορρίψει.


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 108
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Συμβολισμός του Leibniz

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Σάβ Δεκ 14, 2019 7:56 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Δεκ 14, 2019 3:56 pm
Δεν έχω δει σε βιβλίο Ανάλυσης να χρησιμοποιείται ο συμβολισμός του Leibniz.
Και μιλάω για βιβλία όχι τωρινά αλλά του 30.
Κάτι θα ξέρουν όλοι αυτοί περισσότερο από εμάς.
Αντίθετα σε βιβλία Ανάλυσης του 30 έχω δει αντί \cup να βάζουν +
αντί \cap να βάζουν ..
Προφανώς λοιπόν ο συμβολισμός αυτός από την Μαθηματική κοινότητα
έχει απορριφθεί σαν άστοχος.
Οι Φυσικοί η οι Μηχανικοί τον χρησιμοποιούν.
Υπάρχουν προβλήματα στον συμβολισμό αλλά δεν είμαι διαθέσιμος να ανοίξω συζήτηση
για κάτι που κάποιοι πολύ πολύ παραπάνω από εμένα το έχουν απορρίψει.
Το συμβολισμό \cdot για την τομή τον θεωρώ εύλογο καθώς ανταποκρίνεται και σε μία πιο αλγεβρική θεώρηση του δυναμοσυνόλου \mathcal{P}(X) ενός συνόλου X ως δακτυλίου - με πρόσθεση τη συμμετροδιαφορά και γινόμενο την τομή.

Για τον συμβολισμό του Leibniz, ωστόσο, δε θεωρώ ότι θα έπρεπε να είναι γνώμονάς μας μόνο παλιά βιβλία, απλά και μόνο επειδή είναι «παλιά». Διότι, αμφότεροι οι συμβολισμοί έχουν δυνατά και αδύνατα σημεία. Όπως αναφέρθηκε και παραπάνω, στο συμβολισμό του Leibniz είναι σαφές ως προς ποια μεταβλητή παραγωγίζει κανείς, ενώ στον συνήθη συμβολισμό του Lagrange αυτό δεν είναι. Από την άλλη, η δεύτερη, τρίτη κ.λπ. παράγωγος δε μοιάζει και πολύ κομψά γραμμένη με τον συμβολισμό του Leibniz, εν αντιθέσει με αυτόν του Lagrange που είναι σαφής και άμεσος.

Τώρα, όπως έγραψα και στο αρχικό ποστ, ο προβληματισμός μου δεν αφορά την ευρύτερη μαθηματική κοινότητα, αλλά τη διδακτική των μαθηματικών. Ωφελεί τους μαθητές/τις μαθήτριες να χρησιμοποιούν και τους δύο συμβολισμούς; Μήπως αυτό δημιουργεί σύγχυση; Μήπως, από την άλλη, ο συμβολισμός του Leibniz βοηθά στο να έχει ο μαθητής μία καλύτερη εικόνα της έννοιας;


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2782
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συμβολισμός του Leibniz

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Δεκ 14, 2019 8:31 pm

Μάρκος Βασίλης έγραψε:
Σάβ Δεκ 14, 2019 7:56 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Δεκ 14, 2019 3:56 pm
Δεν έχω δει σε βιβλίο Ανάλυσης να χρησιμοποιείται ο συμβολισμός του Leibniz.
Και μιλάω για βιβλία όχι τωρινά αλλά του 30.
Κάτι θα ξέρουν όλοι αυτοί περισσότερο από εμάς.
Αντίθετα σε βιβλία Ανάλυσης του 30 έχω δει αντί \cup να βάζουν +
αντί \cap να βάζουν ..
Προφανώς λοιπόν ο συμβολισμός αυτός από την Μαθηματική κοινότητα
έχει απορριφθεί σαν άστοχος.
Οι Φυσικοί η οι Μηχανικοί τον χρησιμοποιούν.
Υπάρχουν προβλήματα στον συμβολισμό αλλά δεν είμαι διαθέσιμος να ανοίξω συζήτηση
για κάτι που κάποιοι πολύ πολύ παραπάνω από εμένα το έχουν απορρίψει.
Το συμβολισμό \cdot για την τομή τον θεωρώ εύλογο καθώς ανταποκρίνεται και σε μία πιο αλγεβρική θεώρηση του δυναμοσυνόλου \mathcal{P}(X) ενός συνόλου X ως δακτυλίου - με πρόσθεση τη συμμετροδιαφορά και γινόμενο την τομή.

Για τον συμβολισμό του Leibniz, ωστόσο, δε θεωρώ ότι θα έπρεπε να είναι γνώμονάς μας μόνο παλιά βιβλία, απλά και μόνο επειδή είναι «παλιά». Διότι, αμφότεροι οι συμβολισμοί έχουν δυνατά και αδύνατα σημεία. Όπως αναφέρθηκε και παραπάνω, στο συμβολισμό του Leibniz είναι σαφές ως προς ποια μεταβλητή παραγωγίζει κανείς, ενώ στον συνήθη συμβολισμό του Lagrange αυτό δεν είναι. Από την άλλη, η δεύτερη, τρίτη κ.λπ. παράγωγος δε μοιάζει και πολύ κομψά γραμμένη με τον συμβολισμό του Leibniz, εν αντιθέσει με αυτόν του Lagrange που είναι σαφής και άμεσος.

Τώρα, όπως έγραψα και στο αρχικό ποστ, ο προβληματισμός μου δεν αφορά την ευρύτερη μαθηματική κοινότητα, αλλά τη διδακτική των μαθηματικών. Ωφελεί τους μαθητές/τις μαθήτριες να χρησιμοποιούν και τους δύο συμβολισμούς; Μήπως αυτό δημιουργεί σύγχυση; Μήπως, από την άλλη, ο συμβολισμός του Leibniz βοηθά στο να έχει ο μαθητής μία καλύτερη εικόνα της έννοιας;
Μάλλον δεν κατάλαβες.
Και σε αυτό φταίω και εγώ.
Διότι μου ξέφυγε και δεν έγραψα
Και μιλάω για βιβλία όχι μόνο τωρινά αλλά και του 30.
.
Ξέρεις κανένα βιβλίο Ανάλυσης που να χρησιμοποιεί τον συμβολισμό του Leibniz;
Και να στο πω πιο χοντρά.
Ο Spivak,Νεγρεπόντης ,Κάππος,Stein,Korner,κλπ
(αν τους έγραφα όλους θα τελείωνα αύριο)
δεν ξέρουν τον συμβολισμό του Leibniz για να τον χρησιμοποιήσουν;

Για τους μαθητές δεν το συζητάω.
Να μάθουν ένα συμβολισμό τον οποίο όποιος από αυτούς γίνει φοιτητής δεν θα τον
ξαναδεί ποτέ;


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 108
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Συμβολισμός του Leibniz

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Κυρ Δεκ 15, 2019 12:37 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Δεκ 14, 2019 8:31 pm
Μάλλον δεν κατάλαβες.
Και σε αυτό φταίω και εγώ.
Διότι μου ξέφυγε και δεν έγραψα
Και μιλάω για βιβλία όχι μόνο τωρινά αλλά και του 30.
.
Ξέρεις κανένα βιβλίο Ανάλυσης που να χρησιμοποιεί τον συμβολισμό του Leibniz;
Και να στο πω πιο χοντρά.
Ο Spivak,Νεγρεπόντης ,Κάππος,Stein,Korner,κλπ
(αν τους έγραφα όλους θα τελείωνα αύριο)
δεν ξέρουν τον συμβολισμό του Leibniz για να τον χρησιμοποιήσουν;

Για τους μαθητές δεν το συζητάω.
Να μάθουν ένα συμβολισμό τον οποίο όποιος από αυτούς γίνει φοιτητής δεν θα τον
ξαναδεί ποτέ;
Ναι, κατάλαβα, τώρα έγινε σαφέστερο (αυτό το "μόνο" όντως βοήθησε).


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
stranger
Δημοσιεύσεις: 87
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: Συμβολισμός του Leibniz

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τρί Φεβ 11, 2020 3:41 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Δεκ 14, 2019 8:31 pm
Ξέρεις κανένα βιβλίο Ανάλυσης που να χρησιμοποιεί τον συμβολισμό του Leibniz;
Και να στο πω πιο χοντρά.
Ο Spivak,Νεγρεπόντης ,Κάππος,Stein,Korner,κλπ
(αν τους έγραφα όλους θα τελείωνα αύριο)
δεν ξέρουν τον συμβολισμό του Leibniz για να τον χρησιμοποιήσουν;

Για τους μαθητές δεν το συζητάω.
Να μάθουν ένα συμβολισμό τον οποίο όποιος από αυτούς γίνει φοιτητής δεν θα τον
ξαναδεί ποτέ;
Το ότι τα περισσότερα βιβλία χρησιμοποιούν τον συμβολισμό του Lagrange δεν σημαίνει ότι και εμείς (αν έχουμε φάει αρκετά ψωμιά στα μαθηματικά) θα υιοθετήσουμε τον ίδιο συμβολισμό. Μπορούμε να έχουμε δική μας άποψη πάνω σε αυτό το θέμα.Εγώ προσωπικά όταν πρωτομάθαινα μαθηματικά είχα δει μόνο τον συμβολισμό του Lagrange και έτσι αυτόν είχα υιοθετήσει. Αυτό δεν σημαίνει ότι δεν μπορείς να αλλάξεις γνώμη αργότερα. Πιο συγκεκριμένα όταν άρχισα να κάνω έρευνα για το διδακτορικό μου κατάλαβα ότι ο συμβολισμός του Leibnitz είναι πολύ πιο εύστοχος από του Lagrange.
Στην έρευνά μου υπάρχουν πολλές μεταβλητές στο θέμα και κάθε μεταβλητή έχει το δικό της νόημα, οπότε ο συμβολισμός του Leibnitz βοηθάει περισσότερο.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός
Nothing real can be threatened, nothing unreal exists.
Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 108
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Συμβολισμός του Leibniz

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Τρί Φεβ 11, 2020 2:12 pm

stranger έγραψε:
Τρί Φεβ 11, 2020 3:41 am
Το ότι τα περισσότερα βιβλία χρησιμοποιούν τον συμβολισμό του Lagrange δεν σημαίνει ότι και εμείς (αν έχουμε φάει αρκετά ψωμιά στα μαθηματικά) θα υιοθετήσουμε τον ίδιο συμβολισμό. Μπορούμε να έχουμε δική μας άποψη πάνω σε αυτό το θέμα.Εγώ προσωπικά όταν πρωτομάθαινα μαθηματικά είχα δει μόνο τον συμβολισμό του Lagrange και έτσι αυτόν είχα υιοθετήσει. Αυτό δεν σημαίνει ότι δεν μπορείς να αλλάξεις γνώμη αργότερα. Πιο συγκεκριμένα όταν άρχισα να κάνω έρευνα για το διδακτορικό μου κατάλαβα ότι ο συμβολισμός του Leibnitz είναι πολύ πιο εύστοχος από του Lagrange.
Στην έρευνά μου υπάρχουν πολλές μεταβλητές στο θέμα και κάθε μεταβλητή έχει το δικό της νόημα, οπότε ο συμβολισμός του Leibnitz βοηθάει περισσότερο.
Σε αυτό συμφωνώ. Ίσως, βέβαια, ο συμβολισμός του Leibniz, όταν μιλάμε για διδασκαλία των μαθηματικών στη δευτεροβάθμια, να χρειάζεται περισσότερη προετοιμασία. Ας πούμε, ίσως βοηθούσε πρώτα η εισαγωγή του τελεστή \mathrm{d} ή - πιο διαισθητικά - μία συζήτηση/αναλογία του συμβόλου \frac{dy}{dx} με το όριο του λόγου μεταβολής ή διάφορες άλλες προπαρασκευαστικές συζητήσεις/δραστηριότητες.


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
stranger
Δημοσιεύσεις: 87
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: Συμβολισμός του Leibniz

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τετ Φεβ 12, 2020 5:34 am

Επίσης, αξίζει να αναφέρουμε ότι στον κανόνα της αλυσίδας στο απειροστικό λογισμό πολλών μεταβλητών, ο συμβολισμός του Leibnitz υπερέχει αδιαμφισβήτητα από τον συμβολισμό με το γινόμενο των πινάκων.
Μνημονεύεται και κατανοείται πολύ πιο εύκολα.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός
Nothing real can be threatened, nothing unreal exists.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης