Το ρολόι

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 726
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Το ρολόι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Νοέμ 17, 2019 8:07 pm

Σε ένα ρολόϊ ο ωροδείκτης έχει μήκος 3 και ο λεπτοδείκτης μήκος 4.

Να βρείτε την απόσταση των κινούμενων άκρων των δύο δεικτών όταν αυτή αυξάνεται με τον μεγαλύτερο δυνατό ρυθμό.

** Λύνεται και με διανυσματικό λογισμό.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2809
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Το ρολόι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τρί Νοέμ 19, 2019 1:24 pm

Ας θεωρήσουμε, για ευκολία, ότι έχουμε μεσάνυχτα για t=0, ώστε \Phi (0)=\phi (0)=0, όπου \Phi(t)=\dfrac{\pi}{30}t και \phi(t)=\dfrac{\pi}{360}t οι γωνίες λεπτοδείκτη και ωροδείκτη (σε ακτίνια) με την κατακόρυφο t λεπτά μετά τα μεσάνυχτα. Προκύπτει ότι η γωνία ανάμεσα σε ωροδείκτη και λεπτοδείκτη t λεπτά μετά τα μεσάνυχτα ισούται προς \theta (t)=\Phi(t)-\phi(t)=\dfrac{11\pi}{360}t ακτίνια -- θετική πάντοτε, ακόμη και όταν ο ωροδείκτης φαίνεται να προηγείται του λεπτοδείκτη (που απλά έχει ήδη κάνει κάποιους γύρους).

Από τον Νόμο των Συνημιτόνων προκύπτει για την απόσταση d(t) ανάμεσα στα άκρα ωροδείκτη και λεπτοδείκτη η ισότητα d(t)^2=3^2+4^2-2\cdot 3\cdot 4\cdot cos(\theta(t)), οπότε με παραγώγιση λαμβάνουμε 2d(t)d'(t)=24sin(\theta(t))(\theta '(t)) και

d'(t)=\dfrac{11\pi sin(\theta(t))}{30\sqrt{25-24cos(\theta (t))}}.

Για να προσδιορίσουμε την χρονική στιγμή μεγιστοποίησης (ή/και ελαχιστοποίησης) της ταχύτητας μεταβολής d'(t) της απόστασης d(t) ανάμεσα στα άκρα λεπτοδείκτη και ωροδείκτη οφείλουμε να εντοπίσουμε τα σημεία μηδενισμού της d''(t), όπου

d''(t)=-\dfrac{121\pi^2}{10800}\dfrac{\left(12cos^2(\theta(t))-25cos(\theta(t))+12\right)}{(25-24cos(\theta(t)))^{3/2}}.

Ο μηδενισμός του αριθμητή μας δίνει μία μόνον αποδεκτή λύση, την cos(\theta(t))=\dfrac{3}{4} και \theta(t)\approx 0,72 + k\cdot 2\pi \approx 41,27^0 + k\cdot 360^0 ή \theta(t)\approx 5,56 + k\cdot 2\pi \approx 318,72^0 + k\cdot 360^0: η πρώτη οικογένεια γωνιακών τιμών (με sin(\theta(t))=\dfrac{\sqrt{7}}{4}) αντιστοιχεί σε στιγμές μέγιστης ταχύτητας μεταβολής \dfrac{11\pi}{120}\approx 0,28 (μονάδων μήκους ανά λεπτό), ενώ η δεύτερη οικογένεια γωνιακών τιμών (με sin(\theta(t))=-\dfrac{\sqrt{7}}{4}) αντιστοιχεί σε στιγμές ελάχιστης ταχύτητας μεταβολής -\dfrac{11\pi}{120}\approx -0,28 (μονάδων μήκους ανά λεπτό)^ και στις δύο περιπτώσεις (μέγιστης κατά απόλυτη τιμή ταχύτητας μεταβολής απόστασης) η απόσταση ανάμεσα στα άκρα των δύο δεικτών ισούται προς \sqrt{7}, και αυτό συμβαίνει 0,72*30/\pi \approx 6' 52'' μετά (ή πριν) τα μεσάνυχτα (και σε διάφορες άλλες ώρες).

[Δεν είναι από τα προβλήματα όπου η ορθότητα της απάντησης ελέγχεται εύκολα. Μπορούμε βεβαίως να εξετάσουμε την ρεαλιστικότητα της: είναι ρεαλιστικό να έχουμε μέγιστο/ελάχιστο ρυθμό μεταβολής απόστασης ανά λεπτό (0,28) ίσο περίπου προς το ένα δέκατο της απόστασης (2,64); Νομίζω πως ναι... Ας παρατηρήσουμε επίσης ότι στα πρώτα 15 λεπτά η απόσταση μεταβάλλεται από 4-3=1 σε κάτι λιγότερο από \sqrt{3^2+4^2}=5, έχουμε δηλαδή ολική μεταβολή κατά τι μικρότερη του 5-1=4 ενώ 0,28\times 15 =4,2: αρκετά ρεαλιστικό και αυτό, νομίζω...]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8520
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Το ρολόι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Νοέμ 20, 2019 4:00 pm

Μπορούμε να αποφύγουμε τον υπολογισμό του d''(t) μέσω του d'(t).

Έχουμε d^2(t) = 25 - 24\cos{t}. Άρα d(t)d'(t) = 12 \sin{t} και d'(t)^2 + dd''(t) = 12\cos{t}. Άρα d''(t) = 0 αν και μόνο αν d'(t)^2 = 12\cos{t}

Όμως d^2(t) = 25 - 24\cos{t} \neq 0 οπότε \displaystyle  d'(t)^2 = \frac{144\sin^2{t}}{25-24\cos{t}} = 12\cos{t} το οποίο λύνεται εύκολα.


Altrian
Δημοσιεύσεις: 209
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Το ρολόι

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Τετ Νοέμ 20, 2019 10:15 pm

Μια προσπάθεια με διανυσματικό λογισμό.

Ο ρυθμός αύξησης της απόστασης AB είναι η προβολή του διανύσματος της διαφοράς των ταχυτήτων \overrightarrow{b}-\overrightarrow{a} των δεικτών πάνω στην ευθεία AB που τα συνδέει. Δηλαδή BD-AC που είναι το μέγεθος που πρέπει να μεγιστοποιηθεί. Από ομοιότητα ορθογωνίων τριγώνων έχω:

\dfrac{BD}{\left | b \right |}=\dfrac{u}{4}\Rightarrow BD=\left | b \right |\dfrac{u}{4}=12\left | a \right |\dfrac{u}{4}=3\left | a \right |u και
AC=\left | a \right |\dfrac{u}{3}. Αρα

BD-AC=u\left | a \right |(3-\dfrac{1}{3}) το οποίο μεγιστοποιείται όταν μεγιστοποιείται το u. δηλαδή όταν u=3. Τότε το \bigtriangleup OAB είναι ορθογώνιο στο A και έχω την ζητούμενη απόσταση

AB=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}
Συνημμένα
Το ρολοι.png
Το ρολοι.png (33.72 KiB) Προβλήθηκε 170 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες