Της Κορέας

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1223
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Της Κορέας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Νοέμ 16, 2019 11:53 pm

Για θετικό πραγματικό αριθμό \displaystyle t, έστω \displaystyle f(t) η τιμή του πραγματικού αριθμού \displaystyle a τέτοια, ώστε η καμπύλη y=t^3 \ln \left ( x-t \right ) να τέμνει την καμπύλη \displaystyle y=2e^{x-a} σε ακριβώς ένα σημείο. Να βρείτε την τιμή \displaystyle \{ f^{\prime} \left ( \dfrac{1}{3}\right ) \}^2.


Θέμα 30 των φετινών (2020) εισαγωγικών εξετάσεων της Κορέας, για την ομάδα τύπου Β (κατεύθυνσης).
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Παρ Νοέμ 22, 2019 11:10 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2810
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Της Κορέας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τετ Νοέμ 20, 2019 4:31 pm

Επειδή η μία συνάρτηση είναι κοίλη και η άλλη κυρτή, το να έχουν ένα μόνο κοινό σημείο σημαίνει ότι, για κάθε t>0, εφάπτονται αλλήλων, έστω σε σημείο (x_0(t), y_0(t)). Στο x_0(t) λοιπόν οφείλουν να είναι ίσες και οι συναρτήσεις και οι (ως προς x) παράγωγοι τους, οπότε ισχύουν οι

t^3ln(x_0(t)-t)=2e^{x_0(t)-f(t)} και \dfrac{t^3}{x_0(t)-t}=2e^{x_0(t)-f(t)}.

Διαιρώντας κατά μέλη λαμβάνουμε (x_0(t)-t)ln(x_0(t)-t)=1, και παραγωγίζοντας ... ως προς t ... καταλήγουμε στην (x'_0(t)-1)(ln(x_0(t)-t)+1)=0, που δίνει είτε άμεσα είτε έμμεσα x'_0(t)=1, καθώς από την ln(x_0(t)-t)+1=0 λαμβάνουμε x_0(t)-t=-1/e και x'_0(t)=1.

Επιστρέφοντας τώρα στην πρώτη εξίσωση και λογαριθμίζοντας λαμβάνουμε 3lnt+lnln(x_0(t)-t)=ln2+x_0(t)-f(t), και παραγωγίζοντας λαμβάνουμε \dfrac{3}{t}+\dfrac{x'_0(t)-1}{(x_0(t)-t)ln(x_0(t)-1)}=x'_0(t)-f'(t) και \dfrac{3}{t}=1-f'(t), οπότε (f'(1/3))^2=64.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2810
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Της Κορέας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Παρ Νοέμ 22, 2019 7:29 pm

Τα παραπάνω μπορούν -- και ίσως πρέπει -- να επαληθευθούν! Από την x'_0(t)=1 λαμβάνουμε x_0(t)=t+c_1, οπότε η (x_0(t)-t)ln(x_0(t)-t)=1 δίνει c_1lnc_1=1 και c_1\approx1,763. Επίσης από την f'(t)=1-\dfrac{3}{t} λαμβάνουμε f(t)=t-3lnt+c_2, οπότε οι εξισώσεις κοινής εφαπτομένης μας οδηγούν στην c_2=ln(2c_1e^{c_1})\approx3,023. Καταλήγουμε δηλαδή στο συμπέρασμα ότι, για κάθε  t>0 (αλλά τελικά και για κάθε t\neq0), οι συναρτήσεις t^3ln(x-t) και 2e^{x-f(t)}\approx 2t^3e^{x-t-3,023} εφάπτονται αλλήλων σε σημείο με τετμημένη x_0(t)\approx t+1,763.

Στο συνημμένο δίνονται παραδείγματα για t=-1, t=\dfrac{1}{2}, t=1, t=2.
Συνημμένα
korea-2020-B30.png
korea-2020-B30.png (31.3 KiB) Προβλήθηκε 283 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες