Μία και μοναδική λύση

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2831
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Μία και μοναδική λύση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Πέμ Νοέμ 14, 2019 8:39 am

Αν η εξίσωση f'(x)=0 έχει το πολύ μία λύση στο (a,b) και ισχύει η f(a)\cdot f(b)<0, τότε η εξίσωση f(x)=0 έχει μία ακριβώς λύση στο (a,b).

[Γνωστό πιθανώς και διαισθητικά προφανές, προέκυψε από κάτι άλλο που θα αναφερθεί αργότερα.]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.

Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 726
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Μία και μοναδική λύση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Πέμ Νοέμ 14, 2019 10:06 am

gbaloglou έγραψε:
Πέμ Νοέμ 14, 2019 8:39 am
Αν η εξίσωση f'(x)=0 έχει το πολύ μία λύση στο (a,b) και ισχύει η f(a)\cdot f(b)<0, τότε η εξίσωση f(x)=0 έχει μία ακριβώς λύση στο (a,b).

[Γνωστό πιθανώς και διαισθητικά προφανές, προέκυψε από κάτι άλλο που θα αναφερθεί αργότερα.]
Καλημέρα κ. Γιώργο. Θα απαιτήσω επιπλέον η f να είναι συνεχής στο [a,b], διαφορετικά δεν ισχύει.

Παίρνουμε π.χ. ως αντιπαράδειγμα την f(x)=\left\{\begin{matrix} x^2-2 ,-1\leq x<1& \\ 10,x=1& \end{matrix}\right.

Για μια σχολική λύση μπορούμε να πούμε τα εξής:

Η μια ρίζα είναι εξασφαλισμένη από Bolzano. Χωρίς βλάβη υποθέτουμε f(a)<0,f(b)>0.

Διαφορετικά, δουλεύουμε με την -f.

Υποθέτουμε τώρα ότι έχει δύο ρίζες x_1,x_2 με x_1<x_2.

Από την f(a)f(b)<0 έχουμε αναγκαστικά x_1,x_2\in (a,b). Στο [x_1,x_2] η f,

από τη συνέχεια, παρουσιάζει μέγιστο M και ελάχιστο  m.

Αναγκαστικά κάποιο από τα δύο δεν θα είναι 0, διαφορετικά θα ήταν σταθερή σε αυτό το διάστημα και

επομένως η παράγωγος θα είχε άπειρο πλήθος σημείων μηδενισμού. Ας υποθέσουμε M>0.

Τότε η θέση μεγίστου είναι εσωτερικό σημείο του [x_1,x_2] και από Fermat έχουμε ρίζα x_0 της

παραγώγου στο (x_1,x_2). Στο [x_0,b] η f παρουσιάζει ελάχιστο {m}'

το οποίο αναγκαστικά είναι \leq 0 αφού f(x_2)=0. Η θέση αυτή είναι εσωτερική αφού

f(b)>0,f(x_0)>0 και επομένως η παράγωγος έχει ρίζα στο (x_0,b). Άτοπο γιατί βρήκαμε δύο

ρίζες της παραγώγου.

Αν πάλι υποθέσουμε m<0, δουλεύοντας στο [a,x_2] και κάνοντας ακριβώς τα ίδια καταλήγουμε

πάλι σε άτοπο.

Να σημειώσω ότι μπορούμε να επικαλεστούμε την ιδιότητα Darboux της παραγώγου για να λύσουμε την άσκηση αλλά είναι

εκτός σχολικής ύλης.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2831
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Μία και μοναδική λύση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Παρ Νοέμ 15, 2019 3:23 pm

gbaloglou έγραψε:
Πέμ Νοέμ 14, 2019 8:39 am
Αν η εξίσωση f'(x)=0 έχει το πολύ μία λύση στο (a,b) και ισχύει η f(a)\cdot f(b)<0, τότε η εξίσωση f(x)=0 έχει μία ακριβώς λύση στο (a,b).

[Γνωστό πιθανώς και διαισθητικά προφανές, προέκυψε από κάτι άλλο που θα αναφερθεί αργότερα.]
Άμεση γεωμετρική εφαρμογή ... εδώ.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2240
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Μία και μοναδική λύση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Παρ Νοέμ 15, 2019 9:02 pm

\displaystyle{f'\ne 0\Rightarrow f:1-1}πράγματι έστω \displaystyle{f(x_1)=f(x_2) }από Rolle άτοπο άρα για \displaystyle{x_1\ne x_2 } έχω \displaystyle{f(x_1)\ne f(x_2) }

\displaystyle{f } συνεχής και 1-1 τότε \displaystyle{f} γν. μονότονη)

Έτσι αν \displaystyle{f'\ne 0\Rightarrow f} γν . μονότονη και η ρίζα της (από θΒ) μοναδική

αν \displaystyle{f'(r)=0} διακρίνουμε περιπτώσεις για το πρόσημο του \displaystyle{f(a)} kαι την μονοτονία της

\displaystyle{f}

έστω \displaystyle{f(a)>0,f\doownarrow x\in[a,r], f\uparrow x\in [r,b],f(x_0)=0}
από ΘΕΤ υπάρχει μοναδικό \displaystyle{c} (λόγω μονοτονίας) στο \displaystyle{[a,r]:f(c)=f(b)}

Για \displaystyle{x<x_0 f(x)>0},Για \displaystyle{x_0<x<r ,f(x)<0}Για \displaystyle{r<x<b,f(x)<0}

αρα η \displaystyle{f}b εχει μοναδική ρίζα το \displaystyle{x_0\in (a,c)}
Αν η \displaystyle{f} είχε ιδια μονοτονία στα \displaystyle{[a,r],[r,b]}θα είταν μονότονη σε ολοκληρο το \displaystyle{[a,b]}
το ίδιο αν \displaystyle{r=a,r=b}$


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες