όριο παραγώγου

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

panagiotis iliopoulos
Δημοσιεύσεις: 79
Εγγραφή: Τετ Μαρ 07, 2018 10:26 pm

όριο παραγώγου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panagiotis iliopoulos » Πέμ Νοέμ 07, 2019 9:27 pm

Έστω κυρτή συνάρτηση f με πεδίο ορισμού R. Αν \lim_{x\rightarrow +00}f(x)\epsilon \mathbb{R}
να βρεθεί το όριο \lim_{x\rightarrow+00 }f'(x).



Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1508
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: όριο παραγώγου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Παρ Νοέμ 08, 2019 12:56 am

panagiotis iliopoulos έγραψε:
Πέμ Νοέμ 07, 2019 9:27 pm
Έστω κυρτή συνάρτηση f με πεδίο ορισμού R. Αν \lim_{x\rightarrow +00}f(x)\epsilon \mathbb{R}
να βρεθεί το όριο \lim_{x\rightarrow+00 }f'(x).
...μια αντιμετώπιση νυχτερινή....

Για x-1<x<x+1,\,\,\,x>0 σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής στα διαστήματα [x-1,\,x],\,\,[x,x+1] υπάρχουν

{{x}_{1}}\in (x-1,\,x),\,\,{{x}_{2}}\in (x,x+1) ώστε \displaystyle {f}'({{x}_{1}})=\frac{f(x)-f(x-1)}{x-(x-1)},\,\,{f}'({{x}_{2}})=\frac{f(x+1)-f(x)}{x+1-x}

και τότε θα ισχύει, αφού x-1<{{x}_{1}}<x<{{x}_{2}}<x+1και επειδή η {f}' είναι γνήσια αύξουσα αφού f κυρτή, ότι

{f}'({{x}_{1}})<{f}'(x)<{f}'({{x}_{2}}) ή f(x)-f(x-1)<{f}'(x)<f(x+1)-f(x) και αφού

\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x-1)=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x+1)=\ell \in R

θα είναι \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(f(x)-f(x-1))=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(f(x+1)-f(x))=0

και σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'(x)=0

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4000
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: όριο παραγώγου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Νοέμ 08, 2019 8:43 am

panagiotis iliopoulos έγραψε:
Πέμ Νοέμ 07, 2019 9:27 pm
Έστω κυρτή συνάρτηση f με πεδίο ορισμού R. Αν \lim_{x\rightarrow +00}f(x)\epsilon \mathbb{R}
να βρεθεί το όριο \lim_{x\rightarrow+00 }f'(x).
Επειδή η f είναι κυρτή η f' είναι αύξουσα. Συνεπώς το \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f'(x) υπάρχει είτε είναι πεπερασμένο είτε άπειρο. Τότε έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\ell &= \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) \\  
 &=\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x f(x)}{e^x} \\  
 &=\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x f(x) + e^x f'(x)}{e^x} \\  
 &=\lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( f(x) + f'(x) \right )  
\end{aligned}}
Αν το όριο \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f'(x) ήταν άπειρο τότε η τελευταία σχέση θα έδινε \mathbb{R} \ni \ell = \infty το οποίο είναι άτοπο. Άρα το όριο είναι πεπερασμένο , δηλ. \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f'(x) = \kappa \in \mathbb{R} . Από τη τελευταία σχέση παίρνουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\ell &= \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( f(x) + f'(x) \right ) \\  
 &= \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) + \lim_{x\rightarrow +\infty} f'(x)  \\  
 &=\ell + \kappa \\  
 &\implies \kappa =0 
\end{aligned}}
Άρα 0=\kappa = \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f'(x).


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10847
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: όριο παραγώγου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Νοέμ 08, 2019 9:54 am

Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η συνάρτηση f της εκφώνησης , είναι γνησίως φθίνουσα ;


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 507
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: όριο παραγώγου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Νοέμ 08, 2019 10:07 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Νοέμ 08, 2019 9:54 am
Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η συνάρτηση f της εκφώνησης , είναι γνησίως φθίνουσα ;
Ναι είναι απλό. Αν η παράγωγος μηδενιστεί κάπου τότε θα υπάρχει διάστημα (a,+\infty) στο οποίο θα είναι

θετική (από τη μονοτονία της) και ας πούμε μεγαλύτερη από m>0. Τότε f(x)>m(x-a)+f(a) και

παίρνοντας όριο στο +\infty βρίσκουμε \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty (άτοπο).

Άρα η παράγωγος δεν μηδενίζεται. Ούτε θετική δεν μπορεί να γίνει όπως φαίνεται από το παραπάνω.

Άρα μόνο αρνητική μπορεί να είναι απ'όπου προκύπτει το συμπέρασμα.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2619
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: όριο παραγώγου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Νοέμ 08, 2019 10:13 am

panagiotis iliopoulos έγραψε:
Πέμ Νοέμ 07, 2019 9:27 pm
Έστω κυρτή συνάρτηση f με πεδίο ορισμού R. Αν \lim_{x\rightarrow +00}f(x)\epsilon \mathbb{R}
να βρεθεί το όριο \lim_{x\rightarrow+00 }f'(x).
Παναγιώτη απέδειξε το ισχυρότερο.

\lim_{x\rightarrow+\infty }xf'(x)=0


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2619
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: όριο παραγώγου

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Νοέμ 08, 2019 3:26 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Νοέμ 08, 2019 8:43 am
panagiotis iliopoulos έγραψε:
Πέμ Νοέμ 07, 2019 9:27 pm
Έστω κυρτή συνάρτηση f με πεδίο ορισμού R. Αν \lim_{x\rightarrow +00}f(x)\epsilon \mathbb{R}
να βρεθεί το όριο \lim_{x\rightarrow+00 }f'(x).
Επειδή η f είναι κυρτή η f' είναι αύξουσα. Συνεπώς το \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f'(x) υπάρχει είτε είναι πεπερασμένο είτε άπειρο. Τότε έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\ell &= \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) \\  
 &=\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x f(x)}{e^x} \\  
 &=\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x f(x) + e^x f'(x)}{e^x} \\  
 &=\lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( f(x) + f'(x) \right )  
\end{aligned}}
Αν το όριο \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f'(x) ήταν άπειρο τότε η τελευταία σχέση θα έδινε \mathbb{R} \ni \ell = \infty το οποίο είναι άτοπο. Άρα το όριο είναι πεπερασμένο , δηλ. \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f'(x) = \kappa \in \mathbb{R} . Από τη τελευταία σχέση παίρνουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\ell &= \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( f(x) + f'(x) \right ) \\  
 &= \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) + \lim_{x\rightarrow +\infty} f'(x)  \\  
 &=\ell + \kappa \\  
 &\implies \kappa =0 
\end{aligned}}
Άρα 0=\kappa = \lim \limits_{x \rightarrow +\infty} f'(x).
Τόλη υπάρχει πρόβλημα στο εξής:
\displaystyle{\begin{aligned} 
\ell &= \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) \\  
 &=\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x f(x)}{e^x} \\  
 &=\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x f(x) + e^x f'(x)}{e^x} \\  
 &=\lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( f(x) + f'(x) \right )  
\end{aligned}} Για σχολικά αλλά και κανονικά Μαθηματικά δεν ισχύει ότι

Αν

\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=l

και πληρούνται οι προυποθέσεις του DHL
είναι

\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=l

Ισχύει αν ξέρουμε ότι το όριο του πηλίκου των παραγώγων υπάρχει.

Στην συγκεκριμένη περίπτωση δεν ξέρουμε αν υπάρχει.

Συμπλήρωμα.Ακυρο Τόλη.Εχεις πει προηγουμένως ότι το όριο της παραγώγου υπάρχει.
Βέβαια αυτό είναι εκτός σχολικής ύλης.
Σε περίπτωση που είμαστε εκτός σχολικής ύλης είναι σχεδόν τετριμένο με ακολουθίες το εξής:
Αν
\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=l\in \mathbb{R}
και
\lim_{x\rightarrow \infty }f'(x)=c
τότε c=0
χωρίς να χρειάζονται για την f άλλες προυποθέσεις.
τελευταία επεξεργασία από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ σε Παρ Νοέμ 08, 2019 8:04 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2171
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: όριο παραγώγου

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Παρ Νοέμ 08, 2019 6:42 pm

Για την παρατήρηση του Σταύρου

Με ΘΜΤ στο \displaystyle{[x,2x]} έχουμε \displaystyle{f(2x)-f(x)=xf'(u), x<u<2x \Rightarrow f(2x)-f(x)>xf'(x)} όμοια

\displaystyle{f(x)-f(x/2)=x/2f'(v),x/2<v<x  \Rightarrow 2(f(x)-f(x/2))=xf'(v)<xf'(x)}

όμως \displaystyle{\lim_{x\to +\infty}f(x)=a\in R}και \displaystyle{x/2,2x}είναι θετικές μεταβλητές που τείνουν στο + άπειρο

άρα από το Κρ.Παρ έχουμε το ζητούμενο


Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2171
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: όριο παραγώγου

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Παρ Νοέμ 08, 2019 7:30 pm

Μορφή \displaystyle{«a/+\infty}» γενικότερη της «\displaystyle{+\infty/+\infty}»
\displaystyle{ f, g }ορίζονται τουλάχιστον σε σύνολο μορφής \displaystyle{(a,x_0)},\displaystyle{(x_0,b)},\displaystyle{(a,x_0)\cup (x_0,b)}.
\displaystyle{\lim_{x\to x_0}|g'(x)|=+\infty}
\displaystyle{g} είναι γνήσια μονότονη δεξιά και αριστερά του \displaystyle{x_0} , όταν αυτό έχει νόημα.
\displaystyle{ f, g} παραγωγίσιμες στο αντίστοιχο σύνολο.
υπάρχει περιοχή του \displaystyle{x_0:g'(x)\ne 0} σε περιοχή του \displaystyle{x_0} , εκτός ίσως του \displaystyle{x_0}
\displaystyle{\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=l}
Απ’ όλα τα παραπάνω: .
\displaystyle{\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=l}
το θεώρημα αυτό βοηθά να απαντήσουμε σωστά στο προτελευταίο post


panagiotis iliopoulos
Δημοσιεύσεις: 79
Εγγραφή: Τετ Μαρ 07, 2018 10:26 pm

Re: όριο παραγώγου

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panagiotis iliopoulos » Κυρ Νοέμ 10, 2019 10:42 am

Έχουμε \lim_{x\rightarrow +00}f(x)=a\Rightarrow \lim_{x\rightarrow +00}\frac{xf(x)}{x}=a\Rightarrow \lim_{x\rightarrow +00}(xf'(x)+f(x))=a.
Θέτω K(x)=xf'(x)+f(x), \lim_{x\rightarrow +00}K(x)=a και αφού xf'(x)=K(x)-f(x)\Rightarrow \lim_{x\rightarrow +00}xf'(x)=a-a=0.


panagiotis iliopoulos
Δημοσιεύσεις: 79
Εγγραφή: Τετ Μαρ 07, 2018 10:26 pm

Re: όριο παραγώγου

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panagiotis iliopoulos » Κυρ Νοέμ 10, 2019 2:43 pm

Βέβαια, ο τρόπος μου 'μπάζει' λίγο διότι δεν εξετάζω την περίπτωση που το όριο της συνάρτησης είναι μηδέν.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 507
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: όριο παραγώγου

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Νοέμ 10, 2019 3:00 pm

panagiotis iliopoulos έγραψε:
Κυρ Νοέμ 10, 2019 2:43 pm
Βέβαια, ο τρόπος μου 'μπάζει' λίγο διότι δεν εξετάζω την περίπτωση που το όριο της συνάρτησης είναι μηδέν.
Aυτό διορθώνεται. Κούνα λίγο τη συναρτησή πάνω ή κάτω. Η παράγωγος της κουνημένης είναι ίδια με της αρχικής και μπορείς να ξανακάνεις τα ίδία. Το πρόβλημα είναι αλλού όμως. Προσπάθησε να το βρεις.


panagiotis iliopoulos
Δημοσιεύσεις: 79
Εγγραφή: Τετ Μαρ 07, 2018 10:26 pm

Re: όριο παραγώγου

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panagiotis iliopoulos » Κυρ Νοέμ 10, 2019 6:51 pm

Δεν καταλαβαίνω που είναι το λάθος. Αφού ο αριθμητής τείνει στο συν πλην άπειρο(ανάλογα με το πρόσημο του α) και ο παρονομαστής τείνει στο συν άπειρο μπορώ να εφαρμόσω ντε λοπιτάλ αφού γνωρίζω την παραγωγισιμότητα της f(αφού f κυρτή).


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 507
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: όριο παραγώγου

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Νοέμ 10, 2019 7:18 pm

panagiotis iliopoulos έγραψε:
Κυρ Νοέμ 10, 2019 6:51 pm
Δεν καταλαβαίνω που είναι το λάθος. Αφού ο αριθμητής τείνει στο συν πλην άπειρο(ανάλογα με το πρόσημο του α) και ο παρονομαστής τείνει στο συν άπειρο μπορώ να εφαρμόσω ντε λοπιτάλ αφού γνωρίζω την παραγωγισιμότητα της f(αφού f κυρτή).
Ας παρακάμψουμε για την ώρα την περίπτωση a=0. Ο DLH λέει ότι αν το

\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{xf(x)}{x} είναι της μορφής \dfrac{\infty }{\infty } (εδώ είναι)

ΚΑΙ υπάρχει (πεπερασμένο ή άπειρο) το \lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{{(xf(x))}'}{{(x)}'}= \lim_{x\rightarrow +\infty }\left (x{f}'(x)+f(x) \right )

τότε υπάρχει και το \lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{xf(x)}{x} και είναι ίσο με το \ \lim_{x\rightarrow +\infty }\left (x{f}'(x)+f(x) \right ) .

Βλέπεις τώρα το λάθος;


panagiotis iliopoulos
Δημοσιεύσεις: 79
Εγγραφή: Τετ Μαρ 07, 2018 10:26 pm

Re: όριο παραγώγου

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panagiotis iliopoulos » Κυρ Νοέμ 10, 2019 7:25 pm

Δηλαδή εσείς ισχυρίζεστε ότι δεν γνωρίζω την ύπαρξη του \lim_{x\rightarrow +00}(xf'(x)+f(x)) , άρα δεν μπορώ να εφαρμόσω ντε λοπιτάλ?
Σας παρακαλώ αν έχετε υπόψιν σας κάποια άλλη λύση να την γράψετε.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2619
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: όριο παραγώγου

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Νοέμ 10, 2019 8:38 pm

panagiotis iliopoulos έγραψε:
Κυρ Νοέμ 10, 2019 7:25 pm
Δηλαδή εσείς ισχυρίζεστε ότι δεν γνωρίζω την ύπαρξη του \lim_{x\rightarrow +00}(xf'(x)+f(x)) , άρα δεν μπορώ να εφαρμόσω ντε λοπιτάλ?
Σας παρακαλώ αν έχετε υπόψιν σας κάποια άλλη λύση να την γράψετε.
Παναγιώτη ο DHL έχει παγίδες.
Πάρε
f(x)=x^{2}\sin \frac{1}{x},x\neq 0,f(0)=0
g(x)=x
Το
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}=0
ενώ το
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}
δεν υπάρχει .


Λύση στο ερώτημα έχει δώσει παραπάνω ο R BORIS
η οποία είναι και η ενδεδειγμένη.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 507
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: όριο παραγώγου

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Νοέμ 11, 2019 3:48 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Νοέμ 08, 2019 10:13 am

Παναγιώτη απέδειξε το ισχυρότερο.

\lim_{x\rightarrow+\infty }xf'(x)=0
Ας το ολοκληρώσουμε δείχνοντας ότι για κάθε \varepsilon >0 το \lim_{x\rightarrow+\infty }x^{1+\varepsilon }f'(x)=0 ενδεχομένως να μην ισχύει.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης