Δύο φορές 1

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10932
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Δύο φορές 1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Νοέμ 05, 2019 11:18 am

Δύο  φορές  1.png
Δύο φορές 1.png (34.98 KiB) Προβλήθηκε 159 φορές
Σημείο S κινείται πάνω στην γραφική παράσταση της συνάρτησης : f(x)=\dfrac{1}{x^2+1} , x\geq 0 .

Η εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο S , τέμνει τους ημιάξονες Ox, Oy στα σημεία A ,B .

Δείξτε ότι το εμβαδόν του τριγώνου OAB , θα πάρει δύο ακριβώς φορές την τιμή 1 .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6778
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Δύο φορές 1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Νοέμ 05, 2019 12:22 pm

Η εφαπτομένη στο S\left( {s,\dfrac{1}{{{s^2} + 1}}} \right) έχει εξίσωση :

\boxed{y - \frac{1}{{{s^2} + 1}} = \frac{{ - 2s}}{{{{\left( {{s^2} + 1} \right)}^2}}}\left( {x - s} \right)} που για y = 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,x = 0 δίδει :

A\left( {\dfrac{{3{s^2} + 1}}{{2s}},0} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,B\left( {0,\dfrac{{3{s^2} + 1}}{{{{\left( {{s^2} + 1} \right)}^2}}}} \right) .

Η εξίσωση του εμβαδού \boxed{g(s) = \dfrac{1}{2}OA \cdot OB} με το 1 μας οδηγεί στη εξίσωση :

g(s) - 1 = 0 \Leftrightarrow  - {\left( {s - 1} \right)^2}\left( {4{s^3} - {s^2} + 2s - 1} \right) = 0 έτσι έχουμε : s = 1 (μια διπλή ρίζα)

Κι αφού η συνάρτηση w(s) = 4{s^3} - {s^2} + 2s - 1\,\,\,,s > 0 έχει παράγωγο :

w'(s) = 6\left( {2{s^2} - s + 1} \right) > 0
( τριώνυμο με αρνητική διακρίνουσα και συντελεστή δευτεροβαθμίου όρου 2 > 0)

η συνάρτηση w είναι γνήσια αύξουσα , έχει μια ρίζα στο διάστημα (0,1)

δεδομένου ότι : w(0) =  - 1 < 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,w(1) = 4 > 0

Άρα η ρίζα αυτή είναι μοναδική

Συνολικά έχει λοιπόν ακριβώς δύο ρίζες .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης