Ενδιαφέρουσα ανισότητα

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

panagiotis iliopoulos
Δημοσιεύσεις: 104
Εγγραφή: Τετ Μαρ 07, 2018 10:26 pm

Ενδιαφέρουσα ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panagiotis iliopoulos » Δευ Νοέμ 04, 2019 8:53 pm

Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f(x)=e^x-x^2 και ύστερα να δειχθεί ότι e^{x-1}+(lnx)^{2}-x^{2}+x-1\geq 0 για κάθε x> 0. Θα είχε μεγάλο ενδιαφέρον η ανισότητα να είχε δοθεί μόνη της προς απόδειξιν χωρίς τη βοήθεια της παραπάνω συνάρτησης.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2729
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ενδιαφέρουσα ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τρί Νοέμ 05, 2019 7:28 am

Πάμε για μηδενικό τοπικό ελάχιστο στο x=1, οπότε αρκεί να δειχθούν οι ανισότητες e^{x-1}+\dfrac{2lnx}{x}-2x+1<0 για x<1 και e^{x-1}+\dfrac{2lnx}{x}-2x+1>0 για x>1.

Για την πρώτη χρησιμοποιούμε τις e^{x-1}<1 για x<1 και lnx\leq x-1, οπότε αρκεί να δειχθεί η 1+2-\dfrac{2}{x}-2x+1<0, ισοδύναμη προς την (x-1)^2>0.

Για την δεύτερη, που γράφεται και ως xe^{x-1}+2lnx-2x^2+x>0, αρκεί να αποδείξουμε την θετικότητα της παραγώγου για x>1, ισοδύναμη προς την (x+x^2)e^{x-1}+2-4x^2+x>0. Εδώ χρησιμοποιούμε την γνωστή (άσκηση σχολικού βιβλίου) e^{x-1}>1+(x-1)+\dfrac{(x-1)^2}{2}=\dfrac{x^2+1}{2}, οπότε αρκεί να δειχθεί η ανισότητα x^4+2x^3-7x^2+3x+4>0, άμεση λόγω της (x^2-2)^2+x(2x^2-3x+3)>0. [Η παράγωγος προκύπτει θετική για x>0 (αρνητική διακρίνουσα τριωνύμου), εμείς χρειαζόμαστε την θετικότητα της μόνον για x>1.]
τελευταία επεξεργασία από gbaloglou σε Τετ Νοέμ 06, 2019 1:52 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 378
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Ενδιαφέρουσα ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Τρί Νοέμ 05, 2019 10:42 am

Είμαι εκτός σπιτιού και γράφω με το κινητό. Οπότε θα περιγράψω μια λύση ελπίζοντας να μην έχω κάνει λάθος μιας και την " έβγαλα " με το μυαλό. Διπλοπαραγογίζοντας βρίσκουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. Έπειτα η ζητούμενη ανίσωση γράφεται
f(x-1)>f(lnx) το οποίο ισχύει αφού η f αύξουσα και
x-1> lnx. Στις τελευταίες ανισότητες ισχύει και το ίσον αλλά είμαι από το κινητό.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2729
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: Ενδιαφέρουσα ανισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Τετ Νοέμ 06, 2019 2:58 am

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Τρί Νοέμ 05, 2019 10:42 am
Είμαι εκτός σπιτιού και γράφω με το κινητό. Οπότε θα περιγράψω μια λύση ελπίζοντας να μην έχω κάνει λάθος μιας και την " έβγαλα " με το μυαλό. Διπλοπαραγογίζοντας βρίσκουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. Έπειτα η ζητούμενη ανίσωση γράφεται
f(x-1)>f(lnx) το οποίο ισχύει αφού η f αύξουσα και
x-1> lnx. Στις τελευταίες ανισότητες ισχύει και το ίσον αλλά είμαι από το κινητό.
Νίκο σωστή μου φαίνεται η προσέγγιση σου, από f''(x)=e^x-2 προκύπτει ότι η f' έχει ελάχιστο στο x=ln2, οπότε για την f'(x)>0 για κάθε x\in R αρκεί να ισχύει η f'(ln2)>0, προφανής από την 2(1-ln2)>0.

[Βεβαίως η f'(x)>0 προκύπτει KAI από την e^x>1+x+\dfrac{x^2}{2}, καθώς e^x-2x>1-x+\dfrac{x^2}{2}>0.]


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 378
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Ενδιαφέρουσα ανισότητα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Τετ Νοέμ 06, 2019 9:30 am

Ναι κύριε Γιώργο αυτό ακριβώς είχα στο μυαλό μου!! Ευχαριστώ πολύ!


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης