Παραγωγισιμότητα στο 0

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

jalex
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Τρί Ιουν 01, 2010 5:29 pm

Παραγωγισιμότητα στο 0

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από jalex » Δευ Νοέμ 04, 2019 12:47 pm

Θέλουμε να δείξουμε ότι η συνάρτηση f(x)=x\sin\frac{1}{x}, x\ne0 και f(0)=0 δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0. Είναι σωστή η παρακάτω αιτιολόγηση στα πλαίσια του σχολείου;

Είναι:
\lim_{x\to0}\limits\frac{f(x)-0}{x-0}=\lim_{x\to0}\limits\frac{x\cdot \sin\frac{1}{x}}{x}=\lim_{x\to0}\limits\sin\frac{1}{x}.
Έστω ότι \lim_{x\to0}\limits\sin\frac{1}{x}=\ell\in\mathbb{R}. Τότε για x κοντά στο 0, οι τιμές \sin\frac{1}{x} και \ell είναι περίπου ίσες. Άρα, οι τιμές f(\frac{1}{3\pi}) και f(\frac{2}{3\pi}) είναι περίπου ίσες με \ell.
Όμως f(\frac{1}{3\pi})=0 και f(\frac{2}{3\pi})=-1.
Άρα το \lim_{x\to0}\limits\sin\frac{1}{x} δεν υπάρχει στο \mathbb{R}, οπότε η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0.
τελευταία επεξεργασία από jalex σε Δευ Νοέμ 04, 2019 1:44 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 709
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Παραγωγισιμότητα στο 0

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Νοέμ 04, 2019 1:10 pm

jalex έγραψε:
Δευ Νοέμ 04, 2019 12:47 pm
Θέλουμε να δείξουμε ότι η συνάρτηση f(x)=\sin\frac{1}{x}, x\ne0 και f(0)=0 δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0. Είναι σωστή η παρακάτω αιτιολόγηση στα πλαίσια του σχολείου;

Είναι:
\lim_{x\to0}\limits\frac{f(x)-0}{x-0}=\lim_{x\to0}\limits\frac{x\cdot \sin\frac{1}{x}}{x}=\lim_{x\to0}\limits\sin\frac{1}{x}.
Έστω ότι \lim_{x\to0}\limits\sin\frac{1}{x}=\ell\in\mathbb{R}. Τότε για x κοντά στο 0, οι τιμές \sin\frac{1}{x} και \ell είναι περίπου ίσες. Άρα, οι τιμές f(\frac{1}{3\pi}) και f(\frac{2}{3\pi}) είναι περίπου ίσες με \ell.
Όμως f(\frac{1}{3\pi})=0 και f(\frac{2}{3\pi})=-1.
Άρα το \lim_{x\to0}\limits\sin\frac{1}{x} δεν υπάρχει στο \mathbb{R}, οπότε η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0.
Δεν είναι σωστή η αιτιολόγηση ούτε στα πλαίσια του σχολείου ούτε πουθενά.

Πρώτα απ'όλα το περίπου ίσες δεν μας λέει τίποτα. Αν το δεχθούμε για χάρη της κουβέντας τότε αυτό που έχει δειχθεί είναι για κάποιες τιμές δεξιά του 0 η συνάρτηση \sin \frac{1}{x} παίρνει διαφορετικές τιμές. Κανείς δεν μας λέει ότι αν κινηθούμε πιο κοντά στο 0 αυτό που παρατηρήσαμε τώρα δεν θα ξαναπαρατηρηθεί. Αυτό που μπορούμε να πούμε είναι ότι αν το \lim_{x\rightarrow 0^+}\sin \frac{1}{x}=l\in R τότε και το \lim_{x\rightarrow +\infty}\sin x
είναι πραγματικός. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί ότι δεν ισχύει είτε φυσιολογικά, με ακολουθίες, είτε με τριγωνομετρικά τεχνάσματα. Στους μαθητές το πολύ πολύ να το εξηγήσεις γραφικά ότι συμβαίνει.


jalex
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Τρί Ιουν 01, 2010 5:29 pm

Re: Παραγωγισιμότητα στο 0

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από jalex » Δευ Νοέμ 04, 2019 1:26 pm

Ευχαριστώ για την απάντηση. Είχα μια διαφωνία σχετικά με αυτό το θέμα. Τις ίδιες σκέψεις έκανα και εγώ αλλά η άλλη πλευρά δεν "άκουγε".


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12419
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παραγωγισιμότητα στο 0

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Νοέμ 04, 2019 1:37 pm

Βιαστικά γιατί είμαι σε διάλειμμα μεταξύ μαθημάτων.

Υποθέτω ότι αντί
jalex έγραψε:
Δευ Νοέμ 04, 2019 12:47 pm
f(x)=\sin\frac{1}{x}
εννοείς f(x)= x\sin\frac{1}{x} (δηλαδή λείπει ένα x).

Τουλάχιστον τώρα η συνάρτηση είναι συνεχής αλλά ως προς την παραγωγισιμότητα η κατάσταση δεν σώζεται, για τους λόγους που επισνμαίνει ο Λάμπρος.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1843
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Παραγωγισιμότητα στο 0

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Δευ Νοέμ 04, 2019 1:40 pm

Φιλότιμο αλλά δεν πείθει , παράδειγμα αν βρισκόμασταν σε αυτήν την περίπτωση :
DeepinScreenshot_select-area_20191104131246.png
DeepinScreenshot_select-area_20191104131246.png (11.87 KiB) Προβλήθηκε 248 φορές
υπάρχουν διαφορετικά x που να έχουν τις ίδιες τιμές;

Προσωπικά όταν διδάσκω την έννοια του ορίου ακολουθώ το κλασσικό παράδειγμα του βιβλίου που έχει (είχε) η γενική παιδεία.
DeepinScreenshot_select-area_20191104133305.png
DeepinScreenshot_select-area_20191104133305.png (98.42 KiB) Προβλήθηκε 248 φορές
Με την ίδια λογική για το όριο \lim_{x\to0}\limits\sin\frac{1}{x} μπορούμε να κάνουμε έναν πίνακα σαν τον προηγούμενο με τιμές όπως  1/\pi,1/2\pi,1/3\pi... την μια φορά και  1/(\pi+\frac{\pi}{4}),1/(2\pi+\frac{\pi}{4}),1/(3\pi+\frac{\pi}{4})... την άλλη. Και στις δύο περιπτώσεις παίρνουμε διαδοχικά αριθμούς κοντά στο μηδέν όμως η τιμή της συνάρτησης διαφέρει κάθε φορά.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
jalex
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Τρί Ιουν 01, 2010 5:29 pm

Re: Παραγωγισιμότητα στο 0

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από jalex » Δευ Νοέμ 04, 2019 1:44 pm

Σωστά κύριε Λάμπρου, λείπει το x. Διορθώθηκε


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης