Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Nikos127
Δημοσιεύσεις: 11
Εγγραφή: Τετ Αύγ 07, 2019 1:40 pm

Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nikos127 » Τετ Οκτ 23, 2019 8:01 pm

Εστω f: \mathhbb{R} \to (0,+\infty) για την οποία ισχύει f^3(x)+x^2f(x) = 1 \forall x \in \mathbb{R} Να δειχθεί ότι \lim_{x\to0}f(x)= 1 και f'(0)=0



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11869
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Οκτ 23, 2019 10:45 pm

Nikos127 έγραψε:
Τετ Οκτ 23, 2019 8:01 pm
Εστω f: \mathhbb{R} \to (0,+\infty) για την οποία ισχύει f^3(x)+x^2f(x) = 1 \forall x \in \mathbb{R} Να δειχθεί ότι \lim_{x\to0}f(x)= 1 και f'(0)=0
1=f^3(x)+x^2f(x) \ge f^3(x)+0 άρα f(x)\le 1. Επίσης, με χρήση αυτού, \displaystyle{1\ge f(x) = \frac {1}{f^2(x)+x^2} \ge  \frac {1}{1+x^2} }. Παίρνοντας όριο στο 0 έχουμε από ισοσυγκλίνουσες \displaystyle{1\ge \lim_{x\to0}f(x) \ge  \frac {1}{1+0} }, από όπου το ζητούμενο.

Επίσης, η αρχική στο 0 δίνει f(0)=1. Άρα για την παράγωγο στο 0 έχουμε

\displaystyle{\dfrac {f(x)-f(0)}{x-0} = \dfrac {f(x)-1}{x} =  \dfrac {f^3(x)-1}{x(f^2(x)+f(x)+1)} =

\displaystyle{ \dfrac {-x^2f(x)}{x(f^2(x)+f(x)+1)} =  -x\cdot \dfrac {f(x)}{f^2(x)+f(x)+1}\to 0 \cdot \dfrac {1}{1^2+1+1}=0}


Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 241
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Πέμ Οκτ 24, 2019 11:09 am

Σε περίπτωση που δεν υπάρχει εξοικείωση με τις ανισοτικές σχέσεις που είναι κομψότατες και σύντομες , θα προσθέσω μια πιο "φλύαρη" προσέγγιση γενικεύοντας και τη συνέχεια σε όλο το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

Με προϋπόθεση, λοιπόν ότι θα μπορούσε να ζητάει την απόδειξη συνέχειας σε όλο το R^{*,+} , θα μπορούσε να έχει και την εξής αντιμετώπιση.
Για το τυχαίο x_{0}\in R^{*,+} έχουμε:
f^3(x)+x^2f(x)=1 και  f^3(x_{0})+x_{0}^2f(x_{0})=1
Αφαιρώντας κατά μέλη

f^3(x)+x^2f(x)=f^3(x_{0})+x_{0}^2f(x_{0})\Leftrightarrow f^3(x)-f^3(x_{0})=x_{0}^2f(x_{0})-x^2f(x)\Leftrightarrow
 \\(f(x)-f(x_{0}))(f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0}))=x_{0}^2f(x_{0})-x^2f(x)\Leftrightarrow\\\\


 f(x)-f(x_{0})=\frac{x_{0}^2f(x_{0})-x^2f(x)}{f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0})}  (1)

με παρονομαστή κλάσματος πάντα \neq 0, ώς άθροισμα θετικών.

Παίρνοντας όρια στα δύο μέλη της τελευταίας σχέσης προκύπτει ότι \lim_{x \to x_{0}}(f(x)-f(x_{0}))=0 \Leftrightarrow \lim_{x \to x_{0}}f(x)=f(x_0)
Θέτοντας στην αρχική σχέση όπου x=0 προκύπτει f^3(0)=1 \Leftrightarrow f(0)=1

Άρα για τη συνέχεια από τη σχέση (1) έχουμε \lim_{x \to 0}f(x)=f(0)=1
τελευταία επεξεργασία από Ratio σε Πέμ Οκτ 24, 2019 1:18 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


sot arm
Δημοσιεύσεις: 200
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Πέμ Οκτ 24, 2019 12:58 pm

Ratio έγραψε:
Πέμ Οκτ 24, 2019 11:09 am

 f(x)-f(x_{0})=\frac{x_{0}^2f(x_{0})-x^2f(x)}{f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0})}  (1)

με παρονομαστή κλάσματος πάντα \neq 0, ώς άθροισμα θετικών.

Παίρνοντας όρια στα δύο μέλη της τελευταίας σχέσης προκύπτει ότι \lim_{x \to x_{0}}(f(x)-f(x_{0}))=0 \Leftrightarrow \lim_{x \to x_{0}}f(x)=f(x_0)
Θέτοντας στην αρχική σχέση όπου x=0 προκύπτει f^3(0)=1 \Leftrightarrow f(0)=1

Ίσως χάνω κάτι προφανές, πώς από την τελευταία παίρνοντας όρια προκύπτει αυτό;


Αρμενιάκος Σωτήρης
Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 241
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Πέμ Οκτ 24, 2019 1:31 pm

sot arm έγραψε:
Πέμ Οκτ 24, 2019 12:58 pm
Ratio έγραψε:
Πέμ Οκτ 24, 2019 11:09 am

 f(x)-f(x_{0})=\frac{x_{0}^2f(x_{0})-x^2f(x)}{f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0})}  (1)

με παρονομαστή κλάσματος πάντα \neq 0, ώς άθροισμα θετικών.

Παίρνοντας όρια στα δύο μέλη της τελευταίας σχέσης προκύπτει ότι \lim_{x \to x_{0}}(f(x)-f(x_{0}))=0 \Leftrightarrow \lim_{x \to x_{0}}f(x)=f(x_0)
Θέτοντας στην αρχική σχέση όπου x=0 προκύπτει f^3(0)=1 \Leftrightarrow f(0)=1

Ίσως χάνω κάτι προφανές, πώς από την τελευταία παίρνοντας όρια προκύπτει αυτό;
|\frac{x_{0}^2f(x_{0})-x^2f(x)}{f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0})}|\leq |x_{0}^2f(x_{0})-x^2f(x)|
ή
\lim_{x\to x_{0}}}( f(x)-f(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}}\frac{x_{0}^2f(x_{0})-x^2f(x)}{f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0})}=0


sot arm
Δημοσιεύσεις: 200
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Πέμ Οκτ 24, 2019 1:48 pm

Ratio έγραψε:
Πέμ Οκτ 24, 2019 1:31 pm
sot arm έγραψε:
Πέμ Οκτ 24, 2019 12:58 pm
Ratio έγραψε:
Πέμ Οκτ 24, 2019 11:09 am

 f(x)-f(x_{0})=\frac{x_{0}^2f(x_{0})-x^2f(x)}{f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0})}  (1)

με παρονομαστή κλάσματος πάντα \neq 0, ώς άθροισμα θετικών.

Παίρνοντας όρια στα δύο μέλη της τελευταίας σχέσης προκύπτει ότι \lim_{x \to x_{0}}(f(x)-f(x_{0}))=0 \Leftrightarrow \lim_{x \to x_{0}}f(x)=f(x_0)
Θέτοντας στην αρχική σχέση όπου x=0 προκύπτει f^3(0)=1 \Leftrightarrow f(0)=1

Ίσως χάνω κάτι προφανές, πώς από την τελευταία παίρνοντας όρια προκύπτει αυτό;
|\frac{x_{0}^2f(x_{0})-x^2f(x)}{f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0})}|\leq |x_{0}^2f(x_{0})-x^2f(x)|
ή
\lim_{x\to x_{0}}}( f(x)-f(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}}\frac{x_{0}^2f(x_{0})-x^2f(x)}{f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0})}=0

Δεν ισχύει η ανισότητα αυτή, δεν είναι ο παρονομαστής μεγαλύτερος του 1 απαραίτητα.

Ακόμα και να ίσχυε, το όριο του δεξιά δεν κάνει 0,δεν γνωριζω καν υπαρξη του ορίου στο x_{0} για την f.


Αρμενιάκος Σωτήρης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11869
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Οκτ 24, 2019 5:37 pm

Nikos127 έγραψε:
Τετ Οκτ 23, 2019 8:01 pm
Εστω f: \mathhbb{R} \to (0,+\infty) για την οποία ισχύει f^3(x)+x^2f(x) = 1 \forall x \in \mathbb{R} Να δειχθεί ότι \lim_{x\to0}f(x)= 1 και f'(0)=0
Και άλλη μία λύση (μόνο τα βήματα), για να υπάρχει. Σωστή μεν αλλά χωρίς ενδιαφέρον:

Μπορούμε να λύσουμε την τριτοβάθμια ως προς f, οπότε θα βρούμε

\displaystyle{ f(x) = \dfrac {1}{6}\sqrt [3] {108+12\sqrt {12x^6+81 }} -   \dfrac {2x^2}{\sqrt [3] {108+12\sqrt {12x^6+81 }} }

(για να γλιτώσω χρόνο και για να μην κάνω λάθος στις πράξεις, χρησιμοποίησα λογισμικό).

Από εκεί και πέρα είναι θέμα (και πάλι) ρουτίνας. Για παράδειγμα για το όριο στο 0 η παράσταση τείνει στο

\displaystyle{ \dfrac {1}{6}\sqrt [3] {108+12\sqrt {0+81 }} -0 = 1}. Και λοιπά.

Σχολιάζω ότι το πλεονέκτημα είναι ότι βρήκαμε ακριβώς την f αλλά με τίμημα την επίπονη διαδικασία ρουτίνας.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2875
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Οκτ 24, 2019 6:46 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Οκτ 24, 2019 5:37 pm
Nikos127 έγραψε:
Τετ Οκτ 23, 2019 8:01 pm
Εστω f: \mathhbb{R} \to (0,+\infty) για την οποία ισχύει f^3(x)+x^2f(x) = 1 \forall x \in \mathbb{R} Να δειχθεί ότι \lim_{x\to0}f(x)= 1 και f'(0)=0
Και άλλη μία λύση (μόνο τα βήματα), για να υπάρχει. Σωστή μεν αλλά χωρίς ενδιαφέρον:

Μπορούμε να λύσουμε την τριτοβάθμια ως προς f, οπότε θα βρούμε

\displaystyle{ f(x) = \dfrac {1}{6}\sqrt [3] {108+12\sqrt {12x^6+81 }} -   \dfrac {2x^2}{\sqrt [3] {108+12\sqrt {12x^6+81 }} }

(για να γλιτώσω χρόνο και για να μην κάνω λάθος στις πράξεις, χρησιμοποίησα λογισμικό).

Από εκεί και πέρα είναι θέμα (και πάλι) ρουτίνας. Για παράδειγμα για το όριο στο 0 η παράσταση τείνει στο

\displaystyle{ \dfrac {1}{6}\sqrt [3] {108+12\sqrt {0+81 }} -0 = 1}. Και λοιπά.

Σχολιάζω ότι το πλεονέκτημα είναι ότι βρήκαμε ακριβώς την f αλλά με τίμημα την επίπονη διαδικασία ρουτίνας.
Χωρίς λογισμικό παίρνοντας τον τύπο του Cardano βγαίνει

\displaystyle f(x) =\sqrt [3] {\frac{1}{2}+\sqrt {\frac{1}{27}x^6+\frac{1}{4} }}+\sqrt [3] {\frac{1}{2}-\sqrt {\frac{1}{27}x^6+\frac{1}{4} }}
που νομίζω ότι είναι πιο εύχρηστο.
Πάντως τα ίδια ισχύουν αν πάρουμε την f να ικανοποιεί την

f^5(x)+x^2f(x) = 1 \forall x \in \mathbb{R}

που σε αυτή νομίζω ότι τα λογισμικά δεν δουλεύουν.

Τα πάντα όλα για τις τριτοβάθμιες βρίσκονται στο

https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation


Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 241
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Πέμ Οκτ 24, 2019 11:04 pm

sot arm έγραψε:
Πέμ Οκτ 24, 2019 1:48 pm


|\frac{x_{0}^2f(x_{0})-x^2f(x)}{f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0})}|\leq |x_{0}^2f(x_{0})-x^2f(x)|
ή
\lim_{x\to x_{0}}}( f(x)-f(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}}\frac{x_{0}^2f(x_{0})-x^2f(x)}{f^2(x)+f(x)f(x_{0})+f^2(x_{0})}=0

Δεν ισχύει η ανισότητα αυτή, δεν είναι ο παρονομαστής μεγαλύτερος του 1 απαραίτητα.

Ακόμα και να ίσχυε, το όριο του δεξιά δεν κάνει 0,δεν γνωριζω καν υπαρξη του ορίου στο x_{0} για την f.
[/quote]


Ας υποθέσουμε ότι το όριο δεν υπάρχει και ας πάρουμε την περίπτωση απόκλισης των δύο πλευρικών ορίων.
Υποθέτουμε λοιπόν ότι \lim_{x\to x_{0+}} f(x)=k και  \lim_{x\to x_{0+}} f(x)=l με  k\neq l

Τότε  k^3=1-x_0^2k και  l^3=1- x_0^2l
Με επίλυση ως προς  x_0^2=\frac{1-k^3}{k}=\frac{1-l^3}{l}\Leftrightarrow ύστερα απο πράξεις
 lk(k-l)(k+l)+(k-l)=0
\Leftrightarrow (k-l)(lk(k+l)+1)=0 \Leftrightarrow k=l


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11869
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Οκτ 24, 2019 11:23 pm

Ratio έγραψε:
Πέμ Οκτ 24, 2019 11:04 pm

\Leftrightarrow (k-l)(lk(k+l)+1)=0 \Leftrightarrow k=l
Ratio, για δες το πάλι γιατί μου φαίνεται ότι πολλά πράγματα δεν πάνε καλά. Ένα από αυτά (και όχι το μόνο) είναι ότι η παραπάνω εξίσωση έχει πολλές λύσεις, όπως για παράδειγμα την k= - \frac {1}{2} \sqrt [3] {4}, \, l=  \sqrt [3] {4} , που βέβαια ικανοποιεί k\ne l.


Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 241
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Παρ Οκτ 25, 2019 6:28 am

'Εχετε απόλυτο δίκιο αλλά δεδομένου ότι 0<f(x)\leq 1 δεν θα περιορίσουμε και τις δεκτές τιμές των k,l εντός αυτού του συνόλου;


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11869
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Οκτ 25, 2019 9:29 am

Ratio έγραψε:
Παρ Οκτ 25, 2019 6:28 am
'Εχετε απόλυτο δίκιο αλλά δεδομένου ότι 0<f(x)\leq 1 δεν θα περιορίσουμε και τις δεκτές τιμές των k,l εντός αυτού του συνόλου;
To παράδειγμα ήταν για να δείξει ότι ο συλλογισμός στην ισοδυναμία
Ratio έγραψε:
Πέμ Οκτ 24, 2019 11:04 pm

\Leftrightarrow (k-l)(lk(k+l)+1)=0 \Leftrightarrow k=l
είναι λάθος. Υπόψη ότι πουθενά δεν χρησιμοποίησες, ούτε σε αυτό το βήμα ούτε στα υπόλοιπα της λύσης σου, το συμπέρασμα 0<f(x)\leq 1.

Στην λύση που δίνεις υποθέτεις ότι τα πλευρικά όρια υπάρχουν. Η έξτρα αυτή υπόθεση είναι πολύ ισχυρή, σχεδόν ισοδύναμη με το ζητούμενο. Η ουσία της άσκησης είναι να δείξεις ότι το όριο υπάρχει χωρίς να υποθέσεις κάτι τόσο ισχυρό.


Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 241
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Παρ Οκτ 25, 2019 9:57 am

Το σύνολο τιμών της συνάρτησης αλλά και την ύπαρξη του ορίου τα θεώρησα προφανή και αυτονόητα αντίστοιχα σύμφωνα με την πρώτη επίλυση .
Το μεν πρώτο γιατί ήδη έχει αναφερθεί το δε δεύτερο ως άμεση συνέπεια σε περίπτωση που επιλύσουμε την δεδομένη σχέση ως προς  f(x)=\frac{1}{x^2+f^(x)}. Αν υποθέσουμε ότι για κάποιο x_{0} θα έχουμε \lim_{x\to x_0} f(x)=\lim_{x\to x_0}\frac{1}{x^2+f^{2}(x)}
Αν έστω για κάποιο πλευρικό όριο \lim_{x\to x_0} f(x)=\pm \infty η παράσταση δεξιά έχει \lim_{x\to x_0}\frac{1}{x^2+f^{2}(x)}=0. Γι' αυτό και έκανα αποκλεισμό της περίπτωσης χωρίς κάποια αναφορά.

Κακώς ίσως αλλά πιστεύω ότι όποιος μας παρακολουθεί διατηρεί και την αλληλουχία των συμπερασμάτων. Όπως και να έχει σας ευχαριστώ και θα το κοιτάξω


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11869
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Συναρτησιακή σχέση και παραγωγος

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Οκτ 25, 2019 10:56 am

Ratio έγραψε:
Παρ Οκτ 25, 2019 9:57 am

Αν έστω για κάποιο πλευρικό όριο \lim_{x\to x_0} f(x)=\pm \infty η παράσταση δεξιά έχει \lim_{x\to x_0}\frac{1}{x^2+f^{2}(x)}=0. Γι' αυτό και έκανα αποκλεισμό της περίπτωσης χωρίς κάποια αναφορά.
Νομίζω ότι χάνουμε την ουσία.

Όταν ένα όριο δεν υπάρχει, δεν σημαίνει ότι είναι \pm \infty ή ότι τα πλευρικά όρια υπάρχουν αλλά είναι άνισα. Οι περιπτώσεις αυτές ΔΕΝ ΕΞΑΝΤΛΟΥΝ τις εκδοχές. Για παράδειγμα το όριο \displaystyle{ \lim_{x\to 0}\sin \frac {1}{x} } δεν υπάρχει αλλά δεν εμπίπτει στις περιπτώσεις που γράφεις. Τα πράγματα είναι πιο σύνθετα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης