Παραμετρικό ελάχιστο

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 592
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Παραμετρικό ελάχιστο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Πέμ Οκτ 17, 2019 9:18 pm

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=\dfrac{a\sin x+1}{\cos x+2} όπου a πραγματική παράμετρος.

Να βρείτε τις τιμές του a ώστε το ελάχιστο της f να είναι <-1.

** Λύνεται και με γνώσεις προηγούμενων τάξεων.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2782
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Παραμετρικό ελάχιστο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Οκτ 18, 2019 2:41 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Πέμ Οκτ 17, 2019 9:18 pm
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=\dfrac{a\sin x+1}{\cos x+2} όπου a πραγματική παράμετρος.

Να βρείτε τις τιμές του a ώστε το ελάχιστο της f να είναι <-1.

** Λύνεται και με γνώσεις προηγούμενων τάξεων.
Για x=\pi είναι θετική.

Αν θέσουμε
t=\tan \frac{x}{2}
γίνεται
\dfrac{2at+t^{2}+1}{t^{2}+3}=1+2\frac{at-1}{t^{2}+3}

για να ισχύει το ζητούμενο αρκεί και πρέπει να υπάρχει t ώστε

1+2\frac{at-1}{t^{2}+3}<-1

Η τελευταία είναι ισοδύναμη με την
t^{2}+at+2< 0

Υπάρχει λοιπόν τέτοιο t αν και μόνο αν

a^{2}> 8

Θα χαιρόμουν ιδιαίτερα αν έβλεπα λύση με παραγώγους.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2782
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Παραμετρικό ελάχιστο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Οκτ 19, 2019 9:47 am

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Πέμ Οκτ 17, 2019 9:18 pm
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=\dfrac{a\sin x+1}{\cos x+2} όπου a πραγματική παράμετρος.

Να βρείτε τις τιμές του a ώστε το ελάχιστο της f να είναι <-1.

** Λύνεται και με γνώσεις προηγούμενων τάξεων.
Για να δούμε και λύση χωρίς εφαπτομένη.

Για να ισχύει αυτό που θέλουμε πρέπει και αρκεί να
υπάρχει x ώστε
\dfrac{a\sin x+1}{\cos x+2}<-1
η ισοδύναμα
a\sin x+\cos x+3<0
Αλλά
a\sin x+\cos x=\sqrt{a^{2}+1}(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{a^{2}+1}}\cos x)=\sqrt{a^{2}+1}\sin (x+\theta )

Για να υπάρχει λοιπόν τέτοιο x πρέπει και αρκεί
\sqrt{a^{2}+1}> 3

και καταλήγουμε στην a^{2}> 8


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4516
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Παραμετρικό ελάχιστο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Οκτ 19, 2019 8:50 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Οκτ 18, 2019 2:41 pm

Θα χαιρόμουν ιδιαίτερα αν έβλεπα λύση με παραγώγους.
Καλησπέρα σε όλους. Κάνω μια προσπάθεια με παραγώγους, αν και θα προέκρινα μια αντιμετώπιση με τη συνάρτηση asix+bcosx, όπως του Σταύρου στη 2η του ανάρτηση. Να σημειώσω ότι αυτή η εξαιρετικά χρήσιμη ενότητα της Τριγωνομετρίας σε πολλούς μελλοντικούς φοιτητές μας είναι εκτός ύλης διδασκαλίας (και η Άλγεβρα ΜΗ ΕΞΕΤΑΣΤΕΟ μάθημα στη Β΄ Λυκείου...).



Αρκεί να υπάρχει x \in R τέτοιο ώστε  \displaystyle f(x) <  - 1 \Leftrightarrow \frac{{a\sin x + 1}}{{\cos x + 2}} <  - 1 \Leftrightarrow a\sin x + \cos x <  - 3

Λύση με παραγώγους:

Η συνάρτηση  \displaystyle f(x) = a\sin x + \cos x έχει παράγωγο  \displaystyle f'(x) = a\cos x - \sin x .

Έστω x_0 θέση τοπικού ακροτάτου της f. Τότε, από Θ. Fermat, θα είναι

 \displaystyle f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow a\cos {x_0} = \sin {x_0} \Leftrightarrow a = \tan {x_0} , με  \displaystyle \cos {x_0} \ne 0 .

Τότε  \displaystyle f({x_0}) = \tan {x_0} \cdot \sin {x_0} + \cos {x_0} = \frac{1}{{\cos {x_0}}} .

Αρκεί, λοιπόν, να υπάρχει x_0 \in R ώστε  \displaystyle \frac{1}{{\cos {x_0}}} <  - 3.

 \displaystyle \frac{1}{{\cos {x_0}}} <  - 3 \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} > 9 \Rightarrow {\tan ^2} + 1 > 9 \Rightarrow {a^2} + 1 > 9 \Rightarrow {a^2} > 8 .


Λύση με Τριγωνομετρική Συνάρτηση:

Είναι  \displaystyle a\sin x + \cos x = \rho \sin \left( {x + \varphi } \right) , όπου  \displaystyle \rho  = \sqrt {{a^2} + 1} ,  \displaystyle \cos \varphi  = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + 1} }},\;\;\sin \varphi  = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} .

Αφού είναι  \displaystyle \left| {\sin \left( {x + \varphi } \right)} \right| \le 1,\;\;\forall x \in R , αν  \displaystyle \rho  \le 3 \Leftrightarrow {a^2} + 1 \le 9 \Leftrightarrow {a^2} \le 8 ,

τότε  \displaystyle \left| {a\sin \left( {x + \varphi } \right)} \right| \le 3 \Rightarrow  - 3 < a\sin \left( {x + \varphi } \right) .

Οπότε, πρέπει  \displaystyle \rho  > 3 \Leftrightarrow {a^2} > 8 , ώστε να υπάρχει τιμή του x για την οποία να είναι  \displaystyle f(x) <  - 3 .

edit 20-10-2019, 10:10 Διόρθωσα ένα πρόσημο (και τις πράξεις που έπονται) μετά τη διακριτική υπόδειξη του Σταύρου, τον οποίον ευχαριστώ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης