ΕΝΑ ΑΚΟΜΑ ΟΡΙΟ...

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Δημοσιεύσεις: 920
Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου

ΕΝΑ ΑΚΟΜΑ ΟΡΙΟ...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ » Τρί Ιούλ 09, 2019 9:47 pm

Να αποδειχθεί ότι

\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x})=+\infty}

Το θέμα αυτό μου τέθηκε την άνοιξη του 1997 από υποψήφιο της Α' Δέσμης. Τότε δούλευα σε ένα φροντιστήριο...
Πιστεύω να μην έχει ξανατεθεί στο :logo: ...




Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11346
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΕΝΑ ΑΚΟΜΑ ΟΡΙΟ...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιούλ 10, 2019 12:04 am

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Τρί Ιούλ 09, 2019 9:47 pm
Να αποδειχθεί ότι

\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x})=+\infty}

Το θέμα αυτό μου τέθηκε την άνοιξη του 1997 από υποψήφιο της Α' Δέσμης. Τότε δούλευα σε ένα φροντιστήριο...
Πιστεύω να μην έχει ξανατεθεί στο :logo: ...

Με χρήση του γεγονότος ότι \displaystyle{\sqrt{x^{2}+1}}-x = \frac {1}{\sqrt{x^{2}+1}+x} \to 0} καθώς x\to \infty και του \dfrac {e^y-1}{y} \to 1 καθώς y\to 0, έχουμε

\displaystyle{ e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x}= \frac {e^x}{x}\cdot \frac {e^{\sqrt{x^{2}+1}-x}-1 }{\sqrt{x^{2}+1}-x}}\cdot \frac {x}{ \sqrt{x^{2}+1}+x}

Οι παράγοντες του τελευταίου τείνουν στα +\infty, 1 και \frac {1}{2}, αντίστοιχα. Άρα το όριο είναι άπειρο.

Edit. Διόρθωση τυπογραφικού.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Τετ Ιούλ 10, 2019 9:38 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1504
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: ΕΝΑ ΑΚΟΜΑ ΟΡΙΟ...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τετ Ιούλ 10, 2019 12:06 am

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Τρί Ιούλ 09, 2019 9:47 pm
Να αποδειχθεί ότι

\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x})=+\infty}

Το θέμα αυτό μου τέθηκε την άνοιξη του 1997 από υποψήφιο της Α' Δέσμης. Τότε δούλευα σε ένα φροντιστήριο...
Πιστεύω να μην έχει ξανατεθεί στο :logo: ...

...σίγουρα έχει ξανασυζητηθεί, άντε να βρεις τώρα...αλλά δίνω μια αντιμετώπιση που σκέφτηκα τώρα ...

Έστω η συνάρτηση f(t)={{e}^{\sqrt{t}}},t\ge 0που είναι παραγωγίσιμη με {f}'(t)=\frac{{{e}^{\sqrt{t}}}}{2\sqrt{t}},\,\,t>0

οπότε σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής στο διάστημα [{{x}^{2}},\,\,{{x}^{2}}+1] υπάρχει

\xi \in ({{x}^{2}},\,\,{{x}^{2}}+1) ώστε {f}'(\xi )=\frac{f({{x}^{2}}+1)-f({{x}^{2}})}{{{x}^{2}}+1-{{x}^{2}}}={{e}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}-{{e}^{\sqrt{{{x}^{2}}}}}={{e}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}-{{e}^{|x|}}

Τώρα είναι {f}''(t)=\frac{1}{2}\left( \frac{{{e}^{\sqrt{t}}}\sqrt{t}-{{e}^{\sqrt{t}}}}{2t\sqrt{t}} \right)=\frac{{{e}^{\sqrt{t}}}(\sqrt{t}-1)}{4t\sqrt{t}}

απ όπου εύκολα βλέπουμε ότι {f}''(t)>0\Leftrightarrow t>1 επομένως η {f}' είναι γνήσια αύξουσα στο [1,\,+\infty )

και έτσι αφού {{x}^{2}}<\xi <{{x}^{2}}+1 (για x>1) θα ισχύει {f}'({{x}^{2}})<{f}'(\xi )<{f}'({{x}^{2}}+1) άρα και

\frac{{{e}^{x}}}{2x}<{{e}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}-{{e}^{x}},\,\,\,x>1 και επειδή

\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}}{2x}\underset{DLH}{\overset{\frac{\infty }{\infty }}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2}{{e}^{x}}=+\infty

λόγω της ανισότητας είναι και \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,({{e}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}-{{e}^{x}})=+\infty

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
harrisp
Δημοσιεύσεις: 536
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: ΕΝΑ ΑΚΟΜΑ ΟΡΙΟ...

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Τετ Ιούλ 10, 2019 12:11 am

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Τρί Ιούλ 09, 2019 9:47 pm
Να αποδειχθεί ότι

\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x})=+\infty}

Το θέμα αυτό μου τέθηκε την άνοιξη του 1997 από υποψήφιο της Α' Δέσμης. Τότε δούλευα σε ένα φροντιστήριο...
Πιστεύω να μην έχει ξανατεθεί στο :logo: ...

Όμορφο!

Από ΘΜΤ στο [x, \sqrt {x^2+1}] για την f(x)=e^x

υπάρχει k\in (x, \sqrt {x^2+1}) ώστε

e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x}=e^k(\sqrt {x^2+1}-x).

Όμως k>x άρα

e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x}>e^x(\sqrt {x^2+1}-x).

Όμως \displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty} \dfrac {e^x}{x}=+\infty και

\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty} {x}({\sqrt{x^2+1}-x})=\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}\dfrac  {x}{\sqrt{x^2+1}+x}

και διαιρώντας με x προκύπτει ότι το όριο είναι \dfrac {1}{2}.

Ο πολλαπλασιασμός των δύο τελευταίων δίνει \displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty} e^x(\sqrt {x^2+1}-x)=+\infty και το ζητούμενο είναι άμεσο.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3970
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: ΕΝΑ ΑΚΟΜΑ ΟΡΙΟ...

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Ιούλ 10, 2019 1:34 am

KAKABASBASILEIOS έγραψε:
Τετ Ιούλ 10, 2019 12:06 am

...σίγουρα έχει ξανασυζητηθεί, άντε να βρεις τώρα...αλλά δίνω μια αντιμετώπιση που σκέφτηκα τώρα ...
Γιατί όχι ; Εδώ είναι ...


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης