Σελίδα 1 από 1

ΕΝΑ ΑΚΟΜΑ ΟΡΙΟ...

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιούλ 09, 2019 9:47 pm
από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Να αποδειχθεί ότι

\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x})=+\infty}

Το θέμα αυτό μου τέθηκε την άνοιξη του 1997 από υποψήφιο της Α' Δέσμης. Τότε δούλευα σε ένα φροντιστήριο...
Πιστεύω να μην έχει ξανατεθεί στο :logo: ...


Re: ΕΝΑ ΑΚΟΜΑ ΟΡΙΟ...

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιούλ 10, 2019 12:04 am
από Mihalis_Lambrou
ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Τρί Ιούλ 09, 2019 9:47 pm
Να αποδειχθεί ότι

\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x})=+\infty}

Το θέμα αυτό μου τέθηκε την άνοιξη του 1997 από υποψήφιο της Α' Δέσμης. Τότε δούλευα σε ένα φροντιστήριο...
Πιστεύω να μην έχει ξανατεθεί στο :logo: ...

Με χρήση του γεγονότος ότι \displaystyle{\sqrt{x^{2}+1}}-x = \frac {1}{\sqrt{x^{2}+1}+x} \to 0} καθώς x\to \infty και του \dfrac {e^y-1}{y} \to 1 καθώς y\to 0, έχουμε

\displaystyle{ e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x}= \frac {e^x}{x}\cdot \frac {e^{\sqrt{x^{2}+1}-x}-1 }{\sqrt{x^{2}+1}-x}}\cdot \frac {x}{ \sqrt{x^{2}+1}+x}

Οι παράγοντες του τελευταίου τείνουν στα +\infty, 1 και \frac {1}{2}, αντίστοιχα. Άρα το όριο είναι άπειρο.

Edit. Διόρθωση τυπογραφικού.

Re: ΕΝΑ ΑΚΟΜΑ ΟΡΙΟ...

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιούλ 10, 2019 12:06 am
από KAKABASBASILEIOS
ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Τρί Ιούλ 09, 2019 9:47 pm
Να αποδειχθεί ότι

\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x})=+\infty}

Το θέμα αυτό μου τέθηκε την άνοιξη του 1997 από υποψήφιο της Α' Δέσμης. Τότε δούλευα σε ένα φροντιστήριο...
Πιστεύω να μην έχει ξανατεθεί στο :logo: ...

...σίγουρα έχει ξανασυζητηθεί, άντε να βρεις τώρα...αλλά δίνω μια αντιμετώπιση που σκέφτηκα τώρα ...

Έστω η συνάρτηση f(t)={{e}^{\sqrt{t}}},t\ge 0που είναι παραγωγίσιμη με {f}'(t)=\frac{{{e}^{\sqrt{t}}}}{2\sqrt{t}},\,\,t>0

οπότε σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής στο διάστημα [{{x}^{2}},\,\,{{x}^{2}}+1] υπάρχει

\xi \in ({{x}^{2}},\,\,{{x}^{2}}+1) ώστε {f}'(\xi )=\frac{f({{x}^{2}}+1)-f({{x}^{2}})}{{{x}^{2}}+1-{{x}^{2}}}={{e}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}-{{e}^{\sqrt{{{x}^{2}}}}}={{e}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}-{{e}^{|x|}}

Τώρα είναι {f}''(t)=\frac{1}{2}\left( \frac{{{e}^{\sqrt{t}}}\sqrt{t}-{{e}^{\sqrt{t}}}}{2t\sqrt{t}} \right)=\frac{{{e}^{\sqrt{t}}}(\sqrt{t}-1)}{4t\sqrt{t}}

απ όπου εύκολα βλέπουμε ότι {f}''(t)>0\Leftrightarrow t>1 επομένως η {f}' είναι γνήσια αύξουσα στο [1,\,+\infty )

και έτσι αφού {{x}^{2}}<\xi <{{x}^{2}}+1 (για x>1) θα ισχύει {f}'({{x}^{2}})<{f}'(\xi )<{f}'({{x}^{2}}+1) άρα και

\frac{{{e}^{x}}}{2x}<{{e}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}-{{e}^{x}},\,\,\,x>1 και επειδή

\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}}{2x}\underset{DLH}{\overset{\frac{\infty }{\infty }}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2}{{e}^{x}}=+\infty

λόγω της ανισότητας είναι και \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,({{e}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}-{{e}^{x}})=+\infty

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Re: ΕΝΑ ΑΚΟΜΑ ΟΡΙΟ...

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιούλ 10, 2019 12:11 am
από harrisp
ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Τρί Ιούλ 09, 2019 9:47 pm
Να αποδειχθεί ότι

\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x})=+\infty}

Το θέμα αυτό μου τέθηκε την άνοιξη του 1997 από υποψήφιο της Α' Δέσμης. Τότε δούλευα σε ένα φροντιστήριο...
Πιστεύω να μην έχει ξανατεθεί στο :logo: ...

Όμορφο!

Από ΘΜΤ στο [x, \sqrt {x^2+1}] για την f(x)=e^x

υπάρχει k\in (x, \sqrt {x^2+1}) ώστε

e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x}=e^k(\sqrt {x^2+1}-x).

Όμως k>x άρα

e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x}>e^x(\sqrt {x^2+1}-x).

Όμως \displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty} \dfrac {e^x}{x}=+\infty και

\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty} {x}({\sqrt{x^2+1}-x})=\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}\dfrac  {x}{\sqrt{x^2+1}+x}

και διαιρώντας με x προκύπτει ότι το όριο είναι \dfrac {1}{2}.

Ο πολλαπλασιασμός των δύο τελευταίων δίνει \displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty} e^x(\sqrt {x^2+1}-x)=+\infty και το ζητούμενο είναι άμεσο.

Re: ΕΝΑ ΑΚΟΜΑ ΟΡΙΟ...

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιούλ 10, 2019 1:34 am
από Tolaso J Kos
KAKABASBASILEIOS έγραψε:
Τετ Ιούλ 10, 2019 12:06 am

...σίγουρα έχει ξανασυζητηθεί, άντε να βρεις τώρα...αλλά δίνω μια αντιμετώπιση που σκέφτηκα τώρα ...
Γιατί όχι ; Εδώ είναι ...

Re: ΕΝΑ ΑΚΟΜΑ ΟΡΙΟ...

Δημοσιεύτηκε: Δευ Απρ 13, 2020 4:52 pm
από Τσιαλας Νικολαος
Ξεθάβω το πολύ ωραίο αυτό θέμα λόγω μείωσης της ύλης! Δεν ξέρω αν έχει συζητηθεί κάπου αλλού αλλά θα ήταν ωραίο να συζητήσουμε πως μπορούμε να βρούμε το όριο του e^x/x χωρίς χρήση Dlh. Η σκέψη μου ήρθε μετά από συζήτηση επί του θέματος με μια μαθήτρια

Υ.γ: είμαι από κινητό και τα κάνω λίγο μαντάρα με το latex

Re: ΕΝΑ ΑΚΟΜΑ ΟΡΙΟ...

Δημοσιεύτηκε: Δευ Απρ 13, 2020 5:55 pm
από Christos.N
Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Δευ Απρ 13, 2020 4:52 pm
Ξεθάβω το πολύ ωραίο αυτό θέμα λόγω μείωσης της ύλης! Δεν ξέρω αν έχει συζητηθεί κάπου αλλού αλλά θα ήταν ωραίο να συζητήσουμε πως μπορούμε να βρούμε το όριο του e^x/x χωρίς χρήση Dlh. Η σκέψη μου ήρθε μετά από συζήτηση επί του θέματος με μια μαθήτρια

Υ.γ: είμαι από κινητό και τα κάνω λίγο μαντάρα με το latex
Αφού για κάθε x>0 ισχύει e^x>1+x+\frac{1}{2}x^2 βλέπε σχ.Β 3ii παρ.2.7 μπορούμε να βρούμε το \underset{x\to+\infty}{lim} \dfrac{e^x}{x} με κατάλληλη ιδιότητα.

Re: ΕΝΑ ΑΚΟΜΑ ΟΡΙΟ...

Δημοσιεύτηκε: Δευ Απρ 13, 2020 7:56 pm
από Τσιαλας Νικολαος
Christos.N έγραψε:
Δευ Απρ 13, 2020 5:55 pm
Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Δευ Απρ 13, 2020 4:52 pm
Ξεθάβω το πολύ ωραίο αυτό θέμα λόγω μείωσης της ύλης! Δεν ξέρω αν έχει συζητηθεί κάπου αλλού αλλά θα ήταν ωραίο να συζητήσουμε πως μπορούμε να βρούμε το όριο του e^x/x χωρίς χρήση Dlh. Η σκέψη μου ήρθε μετά από συζήτηση επί του θέματος με μια μαθήτρια

Υ.γ: είμαι από κινητό και τα κάνω λίγο μαντάρα με το latex
Αφού για κάθε x>0 ισχύει e^x>1+x+\frac{1}{2}x^2 βλέπε σχ.Β 3ii παρ.2.7 μπορούμε να βρούμε το \underset{x\to+\infty}{lim} \dfrac{e^x}{x} με κατάλληλη ιδιότητα.
Αυτό ακριβώς είχα στο νου μου!!