Δ5 για παραλία

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1007
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Δ5 για παραλία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Ιουν 29, 2019 3:09 pm

Δίνεται η συνάρτηση f:  \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} με τύπο f \left ( x \right) = \left ( x-1\right ) \ln \left ( x^2-2x+2\right ) -x+2 των πανελλαδικών εξετάσεων.

Για ποιά c \geq 2 έχει λύση το σύστημα

\left\{\begin{matrix} 
f^{\prime \prime } \left ( x\right ) +f^{\prime \prime } \left ( y\right ) =0 
\\  
x^2+y^2=c 
\end{matrix}\right. ;



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2751
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Δ5 για παραλία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιούλ 05, 2019 9:15 pm

Επαναφορά.


harrisp
Δημοσιεύσεις: 537
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Δ5 για παραλία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Παρ Ιούλ 05, 2019 10:06 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Ιουν 29, 2019 3:09 pm
Δίνεται η συνάρτηση f:  \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} με τύπο f \left ( x \right) = \left ( x-1\right ) \ln \left ( x^2-2x+2\right ) -x+2 των πανελλαδικών εξετάσεων.

Για ποιά c \geq 2 έχει λύση το σύστημα

\left\{\begin{matrix} 
f^{\prime \prime } \left ( x\right ) +f^{\prime \prime } \left ( y\right ) =0 
\\  
x^2+y^2=c 
\end{matrix}\right. ;
Είναι f''(x)=\dfrac {2(x-1)[(x-1)^2+3]}{[(x-1)^2+1]^2} ή

f''(x+1)=\dfrac {2x(x^2+3)}{(x^2+1)^2}.

Είναι λοιπόν τώρα άμεσο ότι f''(k+1)+f''(-k+1)=0 για κάθε πραγματικό k. Διαλέγουμε λοιπον x=k+1,y=1-k και τώρα για κάθε c\geq 2 υπάρχει ζεύγος (x,y) που ικανοποιεί την ζητούμενη.


KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1517
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Δ5 για παραλία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Παρ Ιούλ 05, 2019 11:00 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Ιουν 29, 2019 3:09 pm
Δίνεται η συνάρτηση f:  \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} με τύπο f \left ( x \right) = \left ( x-1\right ) \ln \left ( x^2-2x+2\right ) -x+2 των πανελλαδικών εξετάσεων.

Για ποιά c \geq 2 έχει λύση το σύστημα

\left\{\begin{matrix} 
f^{\prime \prime } \left ( x\right ) +f^{\prime \prime } \left ( y\right ) =0 
\\  
x^2+y^2=c 
\end{matrix}\right. ;
...καλησπέρα :logo: έκανα μια προσπάθεια στο Δ5 του Αλέκου βγάζοντας αναγκαία πόσο πρέπει να είναι το c...

Είναι μετά από πράξεις {f}''(x)=\frac{2(x-1)}{{{x}^{2}}-2x+2}+\frac{4(x-1)}{{{({{x}^{2}}-2x+2)}^{2}}}=\frac{2(x-1)}{{{x}^{2}}-2x+2}\left( 1+\frac{2}{{{x}^{2}}-2x+2} \right) και

απ όπου {f}''(x)=0\Leftrightarrow x=1 και {f}''(x)>0\Leftrightarrow x>1 και {f}''(x)<0\Leftrightarrow x<1 επομένως η

\displaystyle fπαρουσιάζει μοναδικό σημείο καμπής το A(1,1) .

Παρατηρούμε ότι {f}''(1+x)=\frac{2x}{{{x}^{2}}+1}\left( 1+\frac{2}{{{x}^{2}}+1} \right) και

{f}''(1-x)=-\frac{2x}{{{x}^{2}}+1}\left( 1+\frac{2}{{{x}^{2}}+1} \right) δηλαδή ισχύει {f}''(1+x)+{f}''(1-x)=0,\,\,x\in R

Άρα αν x=1+\alpha ,\,\,\alpha \in R τότε για y=1-\alpha το ζεύγος (1+\alpha ,\,\,1-a) είναι λύση της εξίσωσης

{{f}^{\prime \prime }}\left( x \right)+{{f}^{\prime \prime }}\left( y \right)=0 και για να είναι λύση και της

{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=c πρέπει {{(1+a)}^{2}}+{{(1-a)}^{2}}=c\Leftrightarrow c=2{{a}^{2}}+2

...μοναδικότητα.;;;; τώρα είδα και του χαρι την αφήνω για το κόπο...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1007
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Δ5 για παραλία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Ιούλ 06, 2019 4:25 pm

Η άσκηση κατασκευάστηκε έχοντας υπόψη τις ιδιότητες της συμμετρίας της γραφικής παράστασης της f(x).

Η f \left ( x \right) = \left ( x-1\right ) \ln \left ( x^2-2x+2\right ) -x+2 = \left ( x-1\right ) \ln \left ( (x-1)^2+1\right ) -(x-1)+1 με δυο κατάλληλες μετατοπίσεις, μια προς τα αριστερά
κατά 1 (x-1 \mapsto x) και μια προς τα κάτω κατά 1 μας δίνει την συνάρτηση g \left ( x \right) = x \ln \left ( x^2+1\right ) -x, η οποία είναι εύκολο να παρατηρήσουμε ότι είναι περιττή. Άρα θα έχει κέντρο συμμετρίας το \left (0,0 \right) και επομένως η f(x) θα έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο \left (1,1 \right).

Για τις γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων που έχουν κέντρο συμμετρίας όμως, ισχύει
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Μάιος 09, 2019 1:49 pm

Το (k,f(k)) είναι κέντρο συμμετρίας αν και μόνο αν

για κάθε πραγματικό x είναι f(x+k)+f(k-x)=2f(k)
Σύμφωνα με την παραπάνω ιδιότητα θα έχουμε

f(x+1)+f(1-x)=2f(1) \quad \Rightarrow \left (f(x+1)+f(1-x) \right )^{\prime }=\left ( 2f(1) \right )^{\prime}  \quad \Rightarrow

 f^{\prime}(x+1)-f^{\prime}(1-x) =0 \quad  \Rightarrow \quad f^{\prime \prime }(x+1)+f^{\prime \prime}(1-x) =0

Άρα τα ζεύγη της μορφής \left (t, 2-t \right ) είναι λύσεις της πρώτης εξίσωσης του συστήματος κτλ...

Θα μπορούσε να είχε δοθεί πιο περίπλοκη συνάρτηση, όπου θα ήταν δύσκολο να υπολογιστεί παράγωγόγος της και δεν θα ήταν προφανείς οι αντικαταστάσεις.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης