Δ19 ή Δ18 ;

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1406
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Δ19 ή Δ18 ;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τρί Ιουν 11, 2019 11:50 am

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle f με τύπο \displaystyle f\left( x \right)=\left( x-1 \right)\ln \left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)+\alpha x+\beta ,όπου \displaystyle x,\,\alpha ,\beta \in R
Δ1. Να αποδείξετε ότι για κάθε \displaystyle \alpha ,\beta \in R παρουσιάζει μοναδικό σημείο καμπής και να βρείτε τη γραμμή στην οποία ανήκει .
Δ2. Να βρείτε τις τιμές του \displaystyle \alpha για τις οποίες η \displaystyle f έχει δυο θέσεις τοπικών ακροτάτων . Κατόπιν να βρείτε το είδος των ακροτάτων .
Δ3. Αν \displaystyle \beta =0 , να αποδείξετε ότι για κάθε \displaystyle \alpha \in R υπάρχει εφαπτομένη \displaystyle (\varepsilon ) της \displaystyle {{C}_{f}} που διέρχεται από την αρχή των αξόνων .
Δ4. Να βρείτε την εφαπτομένη \displaystyle (\delta ) στο σημείο καμπής της \displaystyle {{C}_{g}} , με \displaystyle g(x)=-{{x}^{3}}-x+2 και να υπολογίσετε τους \displaystyle \alpha ,\beta \in R , ώστε η \displaystyle (\delta ) να συμπίπτει με κάποια εφαπτομένη της \displaystyle {{C}_{f}} .

Edit ( 19/6/19 ) . Διορθώθηκε το Δ4 μετά από παρέμβαση του Βασίλη , τον οποίο ευχαριστώ.


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1504
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Δ19 ή Δ18 ;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τετ Ιουν 19, 2019 8:08 pm

exdx έγραψε:
Τρί Ιουν 11, 2019 11:50 am
Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle f με τύπο \displaystyle f\left( x \right)=\left( x-1 \right)\ln \left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)+\alpha x+\beta ,όπου \displaystyle x,\,\alpha ,\beta \in R
Δ1. Να αποδείξετε ότι για κάθε \displaystyle \alpha ,\beta \in R παρουσιάζει μοναδικό σημείο καμπής και να βρείτε τη γραμμή στην οποία ανήκει .
Δ2. Να βρείτε τις τιμές του \displaystyle \alpha για τις οποίες η \displaystyle f έχει δυο θέσεις τοπικών ακροτάτων . Κατόπιν να βρείτε το είδος των ακροτάτων .
Δ3. Αν \displaystyle \beta =0 , να αποδείξετε ότι για κάθε \displaystyle \alpha \in R υπάρχει εφαπτομένη \displaystyle (\varepsilon ) της \displaystyle {{C}_{f}} που διέρχεται από την αρχή των αξόνων .
Δ4. Να βρείτε την εφαπτομένη \displaystyle (\delta ) στο σημείο καμπής της \displaystyle {{C}_{g}} , με \displaystyle g(x)=-{{x}^{3}}-x+2 και να υπολογίσετε τους \displaystyle \alpha ,\beta \in R , ώστε η \displaystyle (\delta ) να συμπίπτει με κάποια εφαπτομένη της \displaystyle {{C}_{f}} .

Edit ( 19/6/19 ) . Διορθώθηκε το Δ4 μετά από παρέμβαση του Βασίλη , τον οποίο ευχαριστώ.

...Γεια σου :logo: μιά αντιμετώπιση στο θέμα του Γιώργη, σε μία επετειακή δημοσίευση για μένα....

Δ1. Είναι {f}'\left( x \right)=\ln \left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)+(x-1)\frac{2(x-1)}{{{x}^{2}}-2x+2}+\alpha =\ln \left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)+2\frac{{{(x-1)}^{2}}}{{{x}^{2}}-2x+2}+\alpha

=\ln \left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)+2\frac{{{x}^{2}}-2x+1}{{{x}^{2}}-2x+2}+\alpha =\ln \left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)+2\frac{{{x}^{2}}-2x+2-1}{{{x}^{2}}-2x+2}+a=

=\ln \left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)+2\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}-2x+2} \right)+a=\ln \left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)-\frac{2}{{{x}^{2}}-2x+2}+2+a και

{f}''(x)=\frac{2(x-1)}{{{x}^{2}}-2x+2}+\frac{4(x-1)}{{{({{x}^{2}}-2x+2)}^{2}}}=\frac{2(x-1)}{{{x}^{2}}-2x+2}\left( 1+\frac{2}{{{x}^{2}}-2x+2} \right)

απ όπου {f}''(x)=0\Leftrightarrow x=1 και {f}''(x)>0\Leftrightarrow x>1 και {f}''(x)<0\Leftrightarrow x<1 επομένως η

\displaystyle fπαρουσιάζει μοναδικό σημείο καμπής το A(1,f(1)) ή A(1,\,\alpha +\beta )

που προφανώς είναι σημείο της ευθείας x=1 για κάθε \alpha ,\beta \in R

Δ2. Για να έχει δύο θέσεις τοπικών ακρότατων η \displaystyle f πρέπει απαραίτητα η {f}' να έχει δύο ρίζες . Τώρα συμφωνά με το (Δ1) η

{f}' είναι γνήσια φθίνουσα στο {{A}_{1}}=(-\infty ,\,1] και γνήσια φθίνουσα στο {{A}_{2}}=[1,\,+\infty ) επομένως έχει μέγιστη τιμή το

{f}'(1)=a και με \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'(x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \ln \left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)-\frac{2}{{{x}^{2}}-2x+2}+2+a \right)=+\infty και με

\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \ln \left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)-\frac{2}{{{x}^{2}}-2x+2}+2+a \right)=+\infty οπότε

{f}'({{A}_{1}})=[a,\,+\infty ) και {f}'({{A}_{2}})=[a,\,+\infty ) οπότε αν a>0η {f}' δεν έχει ρίζα για a=0η {f}' έχει μοναδική ρίζα την

x=1 και αν a<0η {f}' έχει δύο ακριβώς ρίζες {{x}_{1}}\in (-\infty ,\,1),\,\,{{x}_{2}}\in (1,\,+\infty ) και λόγω μονοτονίας της {f}'

σε κάθε διάστημα στο {{x}_{1}}\in (-\infty ,\,1) έχει τοπικό μέγιστο και στο {{x}_{2}}\in (1,\,+\infty ) έχει τοπικό ελάχιστο η \displaystyle f.

Δ3. Αν \displaystyle \beta =0 , έχουμε f\left( x \right)=\left( x-1 \right)\ln \left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)+\alpha x και

{f}'(x)=\ln \left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)-\frac{2}{{{x}^{2}}-2x+2}+2+a και θέλουμε να δείξουμε ότι υπάρχει {{x}_{0}}\in R

που για η εφαπτομένη y-f({{x}_{0}})={f}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})να διέρχεται από την αρχή των αξόνων δηλαδή να ισχύει

-f({{x}_{0}})=-{f}'({{x}_{0}}){{x}_{0}} ή f({{x}_{0}})={{x}_{0}}{f}'({{x}_{0}})δηλαδή η εξίσωση f(x)=x{f}'(x)\Leftrightarrow x{f}'(x)-f(x)=0

να έχει λύση. Έτσι θεωρώντας την συνάρτηση g(x)=x{f}'(x)-f(x) έχει προφανή λύση την x=1

αφού g(1)={f}'(1)-f(1)=\alpha -a=0 άρα για κάθε \displaystyle \alpha \in R υπάρχει εφαπτομένη \displaystyle (\varepsilon ) της

\displaystyle {{C}_{f}} που διέρχεται από την αρχή των αξόνων ν και είναι η y=\alpha x

Δ4. Είναι {g}'(x)=-3{{x}^{2}}-1και {g}''(x)=-6x εύκολα διαπιστώνεται ότι το A(0,2) είναι το μοναδικό σημείο καμπής της gκαι έχει

εφαπτομένη την ευθεία y-2={g}'(0)(x-0) ή y=-x+2\displaystyle (\delta ).

Τώρα θέλουμε τα \displaystyle \alpha ,\beta \in R ώστε σε σημείο M({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))να ισχύει

{f}'({{x}_{0}})=-1 και f({{x}_{0}})=-{{x}_{0}}+2 ή \ln \left( x_{0}^{2}-2{{x}_{0}}+2 \right)-\frac{2}{x_{0}^{2}-2{{x}_{0}}+2}+2+a=-1 (1)και

\left( {{x}_{0}}-1 \right)\ln \left( x_{0}^{2}-2{{x}_{0}}+2 \right)+\alpha {{x}_{0}}+\beta =-{{x}_{0}}+2(2)

Αν {{x}_{0}}=1 από (1) προκύπτει \alpha =-1 και από (2) \alpha +\beta =1 άρα \beta =2 που σημαίνει ότι για

\alpha =-1 και \beta =2 η ευθεία y=-x+2 συμπίπτει με κάποια εφαπτομένη της f (στο σημείο καμπής της) που είναι αυτό που θέλαμε.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες