mathematica.gr

Καλησπέρα.
Σε πολλά θέματα εξετάσεων ζητείται, συνήθως μετά τη μελέτη μονοτονίας, να λυθεί μια εξίσωση ή ανίσωση της μορφής ή .
Σε αυτές τις περιπτώσεις είναι απαραίτητο να βρίσκουμε το σύνολο ορισμού της εξίσωσης ή ανίσωσης;
Παράδειγμα από τα θέματα 2015
Αν , να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο θετικές ρίζες.

Στις περισσότερες ασκήσεις που έχω δει δίνεται το σύνολο στο οποίο ζητείται να λυθεί μία εξίσωση ή μία ανίσωση (αν και κατά προτίμηση ζητείται να αποδειχθούν οι ανισώσεις). Πάντως, ακόμα και αν δεν δίνεται κάτι τέτοιο, συνήθως αυτό που κάνουμε είναι πηγαίνουμε με ισοδυναμίες, δηλαδή να καταλήγουμε σε ισοδύναμες εξισώσεις/ανισώσεις, από τις οποίες προκύπτουν οι ίδιες λύσεις. Για να γίνει αυτό, πρέπει να κάνουμε κάθε φορά σωστά βήματα, ώστε να είμαστε σίγουροι ότι καταλήξαμε σε ισοδύναμη εξίσωση/ανίσωση.

Στο παράδειγμα που δίνεις, μπορούμε να κάνουμε το εξής:

Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα και γνησίως αύξουσα στο ενώ το σύνολο τιμών σε κάθε διάστημα είναι το , με ελάχιστη τιμή το . Μπορούμε να ισχυριστούμε ότι πρέπει , αφού μόνο τότε η συνάρτηση μπορεί να πάρει την τιμή , για κάποια τιμή του , και έτσι οδηγηθήκαμε σε μια ισοδύναμη εξίσωση (η άλλη κατεύθυνση της ισοδυναμίας: είναι προφανής). Τελικά, αρκεί να λύσουμε την , η οποία έχει μία ακριβώς ρίζα σε καθένα από τα παραπάνω διαστήματα.

Αν είχαμε την εξίσωση και βρίσκαμε πρώτα που ορίζεται, θα λύναμε , κάτι που ισχύει για κάθε , εντούτοις η ισοδύναμη δεν έχει κάποια λύση. Δεν κερδίσαμε δηλαδή κάτι, τουλάχιστον σε αυτό το παράδειγμα. Περιπτώσεις που συνάντησα και χρειάστηκε κάτι τέτοιο περιλάμβαναν ανισώσεις με σύνθεση συναρτήσεων ή αντίστροφη συνάρτηση. Συναρτήσεις σαν κι αυτές δεν έχουν πάντοτε ίδια πεδία ορισμού.