Μέγιστο εμβαδόν

KARKAR · #1

: Μέγιστο εμβαδόν.png (12.02 KiB) Προβλήθηκε 1074 φορές

Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f(x)=\dfrac{a}{x^2+1} , a>0$ σε σημείο της

,

τέμνει τους άξονες x'x , y'y

στα σημεία A ,B

. Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου OAB

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 08, 2019 1:29 pm
Μέγιστο εμβαδόν.pngΗ εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f(x)=\dfrac{a}{x^2+1} , a>0$ σε σημείο της ,

τέμνει τους άξονες στα σημεία . Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

Έστω $\displaystyle S\left( {t,\frac{a}{{{t^2} + 1}}} \right).$ Η εξίσωση της εφαπτομένης στο

είναι:

: Μέγιστο εμβαδόν.KARKAR..png (10.39 KiB) Προβλήθηκε 1033 φορές

$\displaystyle y - \frac{a}{{{t^2} + 1}} = - \frac{{2at}}{{{{({t^2} + 1)}^2}}}(x - t)$ και τέμνει τους άξονες στα σημεία $\displaystyle A\left( {\frac{{3{t^2} + 1}}{{2t}},0} \right)$ και $\displaystyle B\left( {0,\frac{{a(3{t^2} + 1)}}{{{{({t^2} + 1)}^2}}}} \right)$

$\displaystyle (OAB) = E(t) = \frac{{a{{(3{t^2} + 1)}^2}}}{{4|t|{{({t^2} + 1)}^2}}},$ με παράγωγο $\displaystyle E'(t) = \frac{{at({t^2} - 1)(1 - 9{t^4})}}{{4|t{|^3}{{({t^2} + 1)}^3}}}$

Η συνάρτηση λοιπόν E(t)

παρουσιάζει για $\boxed{t = \pm 1}$ τοπικό μέγιστο ίσο με $\boxed{E(-1)=E(1)=a}$ (Το

ταυτίζεται με το

).

Επεξεργασία: Πρόσθεσα τη λέξη τοπικό με κόκκινα γράμματα.

#3

Έτσι ξεκίνησα και ο ίδιος την άσκηση αλλά την εγκατέλειψα ως άσκηση ρουτίνας αλλά με επίπονες πράξεις. Επισημαίνω εδώ ότι μπορεί τέτοιες ασκήσεις τελικά να διώχνουν τους μαθητές από τα Μαθηματικά, παρ' όλες τις αρετές της για εμάς τους ... φανατικούς.

Για να εξηγούμαι. Αφού βρούμε το εμβαδόν $\displaystyle (OAB) = E(t) = \frac{{a{{(3{t^2} + 1)}^2}}}{{4|t|{{({t^2} + 1)}^2}}},$ και από εκεί την παράγωγο μετά από πολλές πράξεις, καταλήγουμε μετά επιπρόσθετη δουλειά στην παραγοντοποίηση $\displaystyle E'(t) = \frac{{at({t^2} - 1)(1 - 9{t^4})}}{{4|t{|^3}{{({t^2} + 1)}^3}}}$ . Έτσι καταλήγουμε ότι έχουμε τέσσερα σημεία που μηδενίζεται, τα $\pm 1, \pm \sqrt 3/3$ . Έχουμε τώρα και άλλη κοπιαστική διαδικασία (ιδίως να πάμε με δεύτερη παράγωγο) για να βρούμε ποια δίνουν (τοπικό) μέγιστο και ποια ελάχιστο.

Και εδώ εμφανίζεται άλλο πρόβλημα:

Η συνάρτηση E(t)

για $t \approx 0$ είναι $E(t) \approx \frac {1}{4t}$ , δηλαδή δεν υπάρχει μέγιστο εμβαδόν. Απειρίζεται. Χμμμμ.

KARKAR · #4

Η σημαντική παρατήρηση του Μιχάλη , είναι ασφαλώς η δεύτερη . Το θέμα διορθώνεται ,

αν απαιτήσουμε το

να κινείται στο τμήμα της καμπύλης στο οποίο αυτή είναι κυρτή .

Για την πρώτη παρατήρηση : Όντως οι πράξεις είναι ενοχλητικές ( δεν κάνει για θέμα εξετάσεων) ,

το αποτέλεσμα όμως μας αποζημιώνει αφού το ακρότατο και η θέση στην οποία αυτό

εμφανίζεται , είναι -νομίζω - εντυπωσιακά ...

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 08, 2019 8:34 pm
το αποτέλεσμα όμως μας αποζημιώνει αφού το ακρότατο και η θέση στην οποία αυτό

εμφανίζεται , είναι -νομίζω - εντυπωσιακά ...

Σωστά. Ας επισημάνω για όσους δεν το παρατήρησαν, το μεν

είναι στην κορυφή

(όπως ήδη έγραψε ο Γιώργος) και το

είναι το μέσον του

.

#6

Πράγματι, η συνάρτηση E(x)

δεν έχει ολικά ακρότατα, όπως φαίνεται στην παρακάτω γραφική παράσταση.

: Μέγιστο εμβαδόν.KARKAR.ΙΙ.png (8.97 KiB) Προβλήθηκε 950 φορές

: Μέγιστο εμβαδόν.KARKAR.ΙΙI.png (9.99 KiB) Προβλήθηκε 922 φορές

Μέγιστο εμβαδόν

Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση