Σχεδόν ευθεία

KARKAR · #1

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{x}{x-1}-\dfrac{1}{lnx}& , x\in (0,1)\cup (1,+\infty)\\ a & , x=1 \end{matrix}\right.$

α) Υπάρχει τιμή του

, η οποία καθιστά την

συνεχή στο $x_{0}=1$ ;

β) Δείξτε ότι η - συνεχής πλέον -

, παίρνει μόνο θετικές τιμές .

γ) Βρείτε τις ασύμπτωτες της $C_{f}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Απρ 01, 2019 8:02 pm
Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{x}{x-1}-\dfrac{1}{lnx}& , x\in (0,1)\cup (1,+\infty)\\ a & , x=1 \end{matrix}\right.$

α) Υπάρχει τιμή του , η οποία καθιστά την συνεχή στο $x_{0}=1$ ;

β) Δείξτε ότι η - συνεχής πλέον - , παίρνει μόνο θετικές τιμές .

γ) Βρείτε τις ασύμπτωτες της $C_{f}$ .

...μια αντιμετώπιση...

α) Είναι $f(x)=\frac{x}{x-1}-\frac{1}{lnx}=\frac{x\ln x-x+1}{(x-1)\ln x}$ και

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\ln x-x+1}{(x-1)\ln x}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln x}{\ln x+(x-1)\frac{1}{x}}$ $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{\ln x}{x-1}}{\frac{\ln x}{x-1}+\frac{1}{x}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$

επομένως για $a=\frac{1}{2}$ η

συνεχής στο $x_{0}=1$

β) Είναι $\displaystyle f(x)=0\Leftrightarrow \frac{x\ln x-x+1}{(x-1)\ln x}=0\underset{{}}{\overset{x>0,\,x\ne 1}{\mathop{\Leftrightarrow }}}\,\frac{x(\ln x-1+\frac{1}{x})}{(x-1)\ln x}=0\Leftrightarrow \ln x-1+\frac{1}{x}=0$ που είναι αδύνατη
γιατί από την γνωστή ανισότητα $\displaystyle \ln x<x-1,\,\,0<x\ne 1$ με όπου $\displaystyle x$ το $\displaystyle \frac{1}{x}$ ισχύει ότι
$\displaystyle \ln \frac{1}{x}<\frac{1}{x}-1\Leftrightarrow -\ln x<\frac{1}{x}-1\Leftrightarrow 0<\ln x+\frac{1}{x}-1,\,\,0<x\ne 1$

άρα τελικά αφού και $f(1)=\frac{1}{2}\ne 0$ για την συνεχή

ισχύει ότι $f(x)\ne 0,\,\,x\in R$

άρα θα έχει και σταθερό πρόσημο και επειδή $f(1)=\frac{1}{2}>0$ θα είναι $f(x)>0,\,\,x\in R$

γ) Είναι $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{lnx}=0$ και τότε

$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=0$ ,

συνεχής άρα δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες και επίσης επειδή

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x-1}-\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{lnx}=1-0=1$ η

έχει ασύμπτωτη στο $+\infty$ την y=1

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Σχεδόν ευθεία

Σχεδόν ευθεία

Re: Σχεδόν ευθεία

Μέλη σε σύνδεση