Σχεδόν ευθεία

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10673
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Σχεδόν ευθεία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Απρ 01, 2019 8:02 pm

Δίνεται η συνάρτηση : f(x)=\left\{\begin{matrix}
\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{1}{lnx}& , x\in (0,1)\cup (1,+\infty)\\  
a &  , x=1
\end{matrix}\right.

α) Υπάρχει τιμή του a , η οποία καθιστά την f συνεχή στο x_{0}=1 ;

β) Δείξτε ότι η - συνεχής πλέον - f , παίρνει μόνο θετικές τιμές .

γ) Βρείτε τις ασύμπτωτες της C_{f} .



Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1504
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Σχεδόν ευθεία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τετ Απρ 03, 2019 2:55 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Απρ 01, 2019 8:02 pm
Δίνεται η συνάρτηση : f(x)=\left\{\begin{matrix} 
\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{1}{lnx}& , x\in (0,1)\cup (1,+\infty)\\   
a &  , x=1 
\end{matrix}\right.

α) Υπάρχει τιμή του a , η οποία καθιστά την f συνεχή στο x_{0}=1 ;

β) Δείξτε ότι η - συνεχής πλέον - f , παίρνει μόνο θετικές τιμές .

γ) Βρείτε τις ασύμπτωτες της C_{f} .
...μια αντιμετώπιση...

α) Είναι f(x)=\frac{x}{x-1}-\frac{1}{lnx}=\frac{x\ln x-x+1}{(x-1)\ln x} και

\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\ln x-x+1}{(x-1)\ln x}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln x}{\ln x+(x-1)\frac{1}{x}} \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{\ln x}{x-1}}{\frac{\ln x}{x-1}+\frac{1}{x}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}

επομένως για a=\frac{1}{2} ηf συνεχής στο x_{0}=1

β) Είναι \displaystyle f(x)=0\Leftrightarrow \frac{x\ln x-x+1}{(x-1)\ln x}=0\underset{{}}{\overset{x>0,\,x\ne 1}{\mathop{\Leftrightarrow }}}\,\frac{x(\ln x-1+\frac{1}{x})}{(x-1)\ln x}=0\Leftrightarrow \ln x-1+\frac{1}{x}=0 που είναι αδύνατη
γιατί από την γνωστή ανισότητα \displaystyle \ln x<x-1,\,\,0<x\ne 1 με όπου \displaystyle x το \displaystyle \frac{1}{x} ισχύει ότι
\displaystyle \ln \frac{1}{x}<\frac{1}{x}-1\Leftrightarrow -\ln x<\frac{1}{x}-1\Leftrightarrow 0<\ln x+\frac{1}{x}-1,\,\,0<x\ne 1

άρα τελικά αφού και f(1)=\frac{1}{2}\ne 0 για την συνεχή f ισχύει ότι f(x)\ne 0,\,\,x\in R

άρα θα έχει και σταθερό πρόσημο και επειδή f(1)=\frac{1}{2}>0 θα είναι f(x)>0,\,\,x\in R

γ) Είναι \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{lnx}=0 και τότε

\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=0 , f συνεχής άρα δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες και επίσης επειδή

\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x-1}-\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{lnx}=1-0=1 η f έχει ασύμπτωτη στο +\infty την y=1

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης