Δίκην εξίσωσης

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8214
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Δίκην εξίσωσης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μαρ 29, 2019 12:10 pm

Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί a, b με \displaystyle 2a + b > 0,3a + 2b + 1 > 0, αν ισχύει η σχέση:

\displaystyle {e^{2a + b - 1}} + {e^{3a + 2b}} \le 2 + \ln (2a + b) + \ln (3a + 2b + 1)



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 435
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Δίκην εξίσωσης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Μαρ 29, 2019 12:47 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Μαρ 29, 2019 12:10 pm
Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί a, b με \displaystyle 2a + b > 0,3a + 2b + 1 > 0, αν ισχύει η σχέση:

\displaystyle {e^{2a + b - 1}} + {e^{3a + 2b}} \le 2 + \ln (2a + b) + \ln (3a + 2b + 1)
Για ευκολία θέτουμε x=2a + b και y=3a + 2b+1. Θέλουμε να βρούμε τα x,y ώστε να ισχύει η

\displaystyle {e^{x - 1}} + {e^{y-1}} \le 2 + \ln x + \ln y η οποία γράφεται ισοδύναμα \displaystyle {\left (e^{x - 1}} -\ln x \right ) + \left ({e^{y-1}}-\ln y \right ) \le 2\left (\bigstar \right )

Η συνάρτηση \displaystyle f(x)=e^{x - 1}} -\ln x,x>0 έχει δεύτερη παράγωγο \displaystyle e^{x - 1} +\frac{1}{x^2}>0

οπότε η \displaystyle {f}'(x)=e^{x - 1} -\frac{1}{x},x>0 είναι γνησίως αύξουσα και επίσης έχει προφανή ρίζα την x=1.

Συμπεραίνουμε ότι \displaystyle {f}'(x)<0\Leftrightarrow 0<x<1 και  \displaystyle {f}'(x)>0\Leftrightarrow x>1.

Η f έχει λοιπόν ολικό ελάχιστο στη (μοναδική) θέση x=1 το f(1)=1. Αφού ισχύει η \left (\bigstar \right )

υποχρεωτικά θα ισχύει x=1,y=1 απ'όπου εύκολα βρίσκουμε λύνοντας σύστημα a=2,b=-3.

Για τις τιμές των a,b που βρήκαμε βλέπουμε ότι η \left (\bigstar \right ) ισχύει (συγκεκριμένα ως ισότητα).


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες