Δίκην εξίσωσης

#1

Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί a, b

με $\displaystyle 2a + b > 0,3a + 2b + 1 > 0,$ αν ισχύει η σχέση:

$\displaystyle {e^{2a + b - 1}} + {e^{3a + 2b}} \le 2 + \ln (2a + b) + \ln (3a + 2b + 1)$

Λάμπρος Κατσάπας · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 29, 2019 12:10 pm
Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί με $\displaystyle 2a + b > 0,3a + 2b + 1 > 0,$ αν ισχύει η σχέση:

$\displaystyle {e^{2a + b - 1}} + {e^{3a + 2b}} \le 2 + \ln (2a + b) + \ln (3a + 2b + 1)$

Για ευκολία θέτουμε x=2a + b

και

. Θέλουμε να βρούμε τα x,y

ώστε να ισχύει η

$\displaystyle {e^{x - 1}} + {e^{y-1}} \le 2 + \ln x + \ln y$ η οποία γράφεται ισοδύναμα $\displaystyle {\left (e^{x - 1}} -\ln x \right ) + \left ({e^{y-1}}-\ln y \right ) \le 2\left (\bigstar \right )$

Η συνάρτηση $\displaystyle f(x)=e^{x - 1}} -\ln x,x>0$ έχει δεύτερη παράγωγο $\displaystyle e^{x - 1} +\frac{1}{x^2}>0$

οπότε η $\displaystyle {f}'(x)=e^{x - 1} -\frac{1}{x},x>0$ είναι γνησίως αύξουσα και επίσης έχει προφανή ρίζα την x=1.

Συμπεραίνουμε ότι $\displaystyle {f}'(x)<0\Leftrightarrow 0<x<1$ και $\displaystyle {f}'(x)>0\Leftrightarrow x>1$ .

Η

έχει λοιπόν ολικό ελάχιστο στη (μοναδική) θέση x=1

το

Αφού ισχύει η $\left (\bigstar \right )$

υποχρεωτικά θα ισχύει x=1,y=1

απ'όπου εύκολα βρίσκουμε λύνοντας σύστημα a=2,b=-3.

Για τις τιμές των a,b

που βρήκαμε βλέπουμε ότι η $\left (\bigstar \right )$ ισχύει (συγκεκριμένα ως ισότητα).

Δίκην εξίσωσης

Δίκην εξίσωσης

Re: Δίκην εξίσωσης

Μέλη σε σύνδεση