Σταθερή παράγωγος.

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 402
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Σταθερή παράγωγος.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Μαρ 24, 2019 11:07 pm

Έστω f συνεχής στο [a,b] και παραγωγίσιμη στο (a,b). Αν για κάθε x\in(a,b) ισχύει {f}'(x)\leq\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} να δείξετε ότι για κάθε x\in(a,b) ισχύει {f}'(x)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}.

Η λύση ας είναι πάνω σε αυτά που διδάσκονται τα παιδιά.

Πηγή Κώστας Σερίφης.
τελευταία επεξεργασία από Λάμπρος Κατσάπας σε Τρί Μαρ 26, 2019 12:21 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1500
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Σταθερή παράγωγος.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Δευ Μαρ 25, 2019 12:26 am

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Κυρ Μαρ 24, 2019 11:07 pm
Έστω f συνεχής στο [a,b] και παραγωγίσιμη στο (a,b). Αν για κάθε x\in(a,b) ισχύει {f}'(x)\leq\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} να δείξετε ότι για κάθε x\in(a,b) ισχύει {f}'(x)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}.

Η λύση ας είναι πάνω σε αυτά που διδάσκονται τα παιδιά.

Πηγή μετά...
...για την ημέρα...

Θεωρώντας την συνάρτηση
g(t)=(b-a)f(t)-(f(b)-f(a))t,\,\,\,t\in [a,\,b] για x\in (a,\,b) στα [a,\,x],\,\,[x,\,b]

σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχουν {{x}_{1}}\in (a,\,x),\,\,{{x}_{2}}\in (x,\,b) που

{g}'({{x}_{1}})=\frac{g(x)-g(a)}{x-a},\,\,{g}'({{x}_{2}})=\frac{g(b)-g(x)}{b-x} και επειδή από υπόθεση

{f}'(x)\le \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\Leftrightarrow {g}'(x)\le 0 έχουμε ότι

{g}'({{x}_{1}})\le 0\Leftrightarrow \frac{g(x)-g(a)}{x-a}\le 0\Leftrightarrow g(x)\le g(\alpha ) και

{g}'({{x}_{2}})\le 0\Leftrightarrow \frac{g(b)-g(x)}{b-x}\le 0\Leftrightarrow g(b)-g(x)\le 0\Leftrightarrow g(b)\le g(x) και επειδή

g(\beta )=(b-a)f(\alpha )-(f(b)-f(a))\alpha =bf(a)-af(b) και

g(b)=(b-a)f(b)-(f(b)-f(a))b=-\alpha f(b)+bf(\alpha ) άρα

g(a)=g(b)=-\alpha f(b)+bf(\alpha ) θα είναι και g(x)=g(\alpha ),\,\,x\in (\alpha ,\,b) έτσι

{g}'(x)=0,\,\,x\in (\alpha ,\,b) δηλαδή (b-a){f}'(x)-(f(b)-f(a))=0,\,\,\,x\in (a,\,b)...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 402
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Σταθερή παράγωγος.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τρί Μαρ 26, 2019 12:45 am

Θέλουμε ουσιαστικά να δείξουμε ότι η C_f ταυτίζεται με τo ευθ.τμήμα που περνάει από τα σημεία (a,f(a)),(b,f(b))

δηλαδή αυτό με εξίσωση
y=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a) .

Έστω ότι υπάρχει \xi στο (a,b) με
f(\xi) >\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(\xi-a)+f(a)\Leftrightarrow \dfrac{f(\xi)-f(a)}{\xi-a}>\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

Από το ΘΜΤ στο [a,\xi] θα υπάρχει \xi_1\in(a,\xi) τέτοιο ώστε
\dfrac{f(\xi)-f(a)}{\xi-a}={f}'(\xi_1)>\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} (άτοπο).

Η εξίσωση του ευθ.τμήματος επίσης γράφεται y=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-b)+f(b) .

Έστω ότι υπάρχει \xi στο (a,b) με
f(\xi)<\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(\xi-b)+f(b)\Leftrightarrow \dfrac{f(\xi)-f(b)}{\xi-b}>\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

Από το ΘΜΤ στο [\xi,b] θα υπάρχει \xi_1\in(\xi,b) τέτοιο ώστε
\dfrac{f(\xi)-f(b)}{\xi-b}={f}'(\xi_1)>\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} (άτοπο).

Τελικά για κάθε x\in[a,b] ισχύει f(x)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a) και επομένως για κάθε

x\in(a,b) ισχύει {f}'(x)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2345
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σταθερή παράγωγος.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Μαρ 26, 2019 12:35 pm

Θα γράψω και την δική μου γνώμη για την λύση της άσκησης.
Το σχολικό σε υποσημείωση ορίζει την έννοια της φθίνουσας συνάρτησης.

Ετσι μπορούμε να διατυπώσουμε το εξής:
Αν h:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} είναι συνεχής και παραγωγίσημη στο (a,b) με
h'(x)\leq0 στο (a,b) τότε είναι φθίνουσα.
Απόδειξη.
Για a\leq x_{1}< x_{2}\leq b
από ΘΜΤ είναι h(x_{2})-h(x_{1})=(x_{2}-x_{1})h'(c)\leq 0


Σκεπτόμενοι ότι αν ισχύει το συμπέρασμα τότε θα πρέπει η
f(x)-\dfrac{ f(b)-f(a)}{b-a}x να είναι σταθερή ορίζουμε την

h(x)=f(x)-\dfrac{ f(b)-f(a)}{b-a}x που προφανώς είναι συνεχής.

Είναι h'(x)\leq 0 στο (a,b)

Αρα η h είναι φθίνουσα.

Αλλά h(a)=\dfrac{af(b)-bf(a)}{b-a}=h(b)
(απλές πράξεις)

Αφου η h είναι φθίνουσα έχουμε για a\leq x\leq b

ότι h(a)\geq h(x)\geq h(b)= h(a)

Αρα η h είναι σταθερή οπότε παραγωγίζοντας παίρνουμε ότι

f'(x)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες