Σελίδα 1 από 1

Πόσο χαμηλά έπεσα

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Μαρ 21, 2019 12:34 pm
από KARKAR
Πόσο χαμηλά  έπεσα.png
Πόσο χαμηλά έπεσα.png (9.85 KiB) Προβλήθηκε 418 φορές
Σε σημείο A - του πρώτου τεταρτημορίου - της παραβολής με εξίσωση : y=x^2+1 φέρουμε κάθετη

στην εφαπτομένη , η οποία ξανατέμνει την καμπύλη στο σημείο S . Βρείτε την "χαμηλότερη" θέση του S .

Όσο λιγότερη ανάλυση χρησιμοποιήσετε , τόσο το καλύτερο :idea:

Re: Πόσο χαμηλά έπεσα

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Μαρ 21, 2019 3:10 pm
από Γιώργος Ρίζος
Δίχως Ανάλυση.


Μετακινώ την παραβολή κατά μία μονάδα προς τα κάτω.


21-3-2019 Ανάλυση.png
21-3-2019 Ανάλυση.png (29.82 KiB) Προβλήθηκε 384 φορές

Έχει εξίσωση x^2=y, και εφαπτομένη στο σημείο A(x_0, y_0) του πρώτου τεταρτημορίου με εξίσωση  \displaystyle x{x_0} = \frac{1}{2}\left( {y + y{ & _0}} \right) .

Η κάθετη στο A έχει εξίσωση  \displaystyle y - {y_0} =  - \frac{1}{{2{x_0}}}\left( {x - {x_0}} \right) \Leftrightarrow y =  - \frac{1}{{2{x_0}}}x + {y_0} + \frac{1}{2} και την τέμνει στα σημεία A και  \displaystyle S\left( { - \frac{{2x_0^2 + 1}}{{2{x_0}}},\;{{\left( {\frac{{2x_0^2 + 1}}{{2{x_0}}}} \right)}^2}} \right) .

Είναι  \displaystyle \frac{{2x_0^2 + 1}}{{2{x_0}}} = {x_0} + \frac{1}{{2{x_0}}} με x_0>0. Αφού οι δύο θετικοί αριθμοί έχουν σταθερό γινόμενο, θα έχουν ελάχιστο άθροισμα όταν είναι ίσοι (αν μπορούν να γίνουν ίσοι),

οπότε έχουμε το ελάχιστο άθροισμα όταν  \displaystyle {x_0} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} , το οποίο είναι ίσο με 2.

Άρα στην αρχική παραβολή έχουμε ελάχιστο y_S =3.

Re: Πόσο χαμηλά έπεσα

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Μαρ 21, 2019 4:51 pm
από george visvikis
KARKAR έγραψε:
Πέμ Μαρ 21, 2019 12:34 pm

Όσο λιγότερη ανάλυση χρησιμοποιήσετε , τόσο το καλύτερο :idea:
Δεν καταλαβαίνω γιατί μια άσκηση μπαίνει σε φάκελο Ανάλυσης με την οδηγία να χρησιμοποιηθεί λιγότερη Ανάλυση :?

Re: Πόσο χαμηλά έπεσα

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Μαρ 21, 2019 7:33 pm
από KARKAR
Γιώργο , εξηγώ : Η εύρεση ακροτάτων χωρίς χρήση διαφορικού λογισμού , είναι ένα πολύ ελκυστικό

πεδίο των Μαθηματικών ( σίγουρα για μένα ) . Στο συγκεκριμένο θέμα , η κλίση της εφαπτομένης στο A ,

είναι το μόνο σημείο , στο οποίο σχεδόν αναγκαστικά καταφεύγουμε στην παράγωγο . Όμως η εύρεση

του χαμηλότερου σημείου S , μπορεί - και θα ήθελα ως θεματοδότης - να βρεθεί χωρίς παράγωγο .

Βέβαια ο Γιώργος εξαφάνισε την Ανάλυση , αλλά τη μεταφορά ίσως δεν θα την σκέφτονταν πολλοί .

Προφανώς λύση με παράγωγο είναι αποδεκτή , ας δώσουμε όμως χώρο π.χ σε μία ανισότητα ΑΜ -ΓΜ ...

Re: Πόσο χαμηλά έπεσα

Δημοσιεύτηκε: Παρ Μαρ 22, 2019 9:54 am
από exdx

Re: Πόσο χαμηλά έπεσα

Δημοσιεύτηκε: Παρ Μαρ 22, 2019 10:40 am
από george visvikis
Για την κλίση της εφαπτομένης χωρίς παράγωγο. Έστω y=ax+b η εξίσωση της εφαπτομένης στο A.

Τότε η εξίσωση \displaystyle {x^2} + 1 = ax + b \Leftrightarrow {x^2} - ax + 1 - b = 0 θα έχει διπλή ρίζα \displaystyle {x_0} = \frac{a}{2} \Leftrightarrow \boxed{a=2x_0}